Όριο μιας "μόνο στους τύπους" δίκλαδης

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται $x_o\in\mathbb{R}$ και συναρτήσεις $f_1,f_2\colon\mathbb{R}-\{x_o\}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\lim\limits_{x\to x_o} f_{1}(x)=\lim\limits_{x\to x_o} f_{2}(x)=\ell\in\mathbb{R}$

Θεωρούμε δυο σύνολα πραγματικών αριθμών A_1,A_2

τέτοια ώστε:

$\bullet$ $A_1\cup A_2=\mathbb{R}-\{x_o\}$
$\bullet$ $x\in A_1\cap A_2\Rightarrow f_1(x)=f_2(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}-\{x_o\}$

Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση
$f\colon\mathbb{R}-\{x_o\}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\begin{cases}f_1(x) &,x\in A_1\\ f_2(x) &,x\in A_2\end{cases}$

Να αποδειχθεί ότι $\lim\limits_{x\to x_o}f(x)=\ell$

Σημείωση
Τα υποσύνολα του $\mathbb{R}$ μπορεί να είναι πολύ αλλόκοτα. Το σχολικό βιβλίο
όμως έχει βάλει δικλείδες ασφαλείας ώστε να μην τα βρούμε στο διάβα μας.

Πράγματι αναφέρεται ρητά ότι:
"Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων"

Όμως εξαντλώντας "το περιθώριο του γράμματος του νόμου" μπορούμε
να διαλέξουμε για A_1,A_2

(με

) τις εξής ενώσεις διαστημάτων

$A_1=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\big((-2^{2n+1},-2^{2n}]\cup[2^{2n},2^{2n+1})\big)$
$A_2=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\big((-2^{2n}, -2^{2n-1}]\cup[2^{2n-1},2^{2n})\big)$
που καθιστούν την άνωθι

"νόμιμη" μεν, αλλά με την ιδιαίτερότητα δε να
υπάρχει ένα σημείο, το x_o=0

, το οποίο είναι σημείο συσσώρευσης
και από τα δεξιά και από τα αριστερά αμφοτέρων των A_1,A_2

με αποτέλεσμα η συνήθης
στρατηγική της θεώρησης των πλευρικών ορίων της

στο

να μην προσφέρει κάτι
αφού και οι δυο "τύποι" f_1,f_2

συνεχίζουν να ισχύουν και δεξιά και αριστερά του x_o

οσοδήποτε κοντά σε αυτό.
Αυτή είναι η κρίσιμη ιδιότητα που υπονοείται ότι έχει η

της παραπάνω άσκησης στο x_o

Σημείωση
Θα μπορούσε κανείς να πει ότι το ζητούμενο είναι προφανές!
Επίσης με τον ορισμό του ορίου (με $\varepsilon, \delta$ ή τον ακολουθιακό) η απόδειξη είναι απλή.
Εντούτοις ας δούμε και μια απόδειξη στη βάση των διαθεσίμων ιδιοτήτων από το σχολικό βιβλίο.

#2

Γεια σας
Νομίζω ότι μια σχολική προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν η εξής:
Αρκεί όταν $x\rightarrow x_{0}$ να είναι $f\left( x\right) -\ell \rightarrow 0$ ή ισοδύναμα $\left| f\left( x\right) -\ell \right| \rightarrow 0$ .
Από υπόθεση $f_{i}\left( x\right) =\ell +\delta _{i}\left( x\right)$ , i=1,2

όπου $\delta _{i}\left( x\right) \rightarrow 0$ για $x\rightarrow x_{0}$ .
Από τον ορισμό της

είναι $\left| f\left( x\right) -\ell \right| =\left| \delta _{i}\left( x\right) \right|$ αν $x\in A_{i}$ .
Άρα
$\left| f\left( x\right) -\ell \right| \leq \max \left( \left| \delta _{i}\left( x\right) \right| \right) =\frac{\left| \delta _{1}\left( x\right) \right| +\left| \delta _{2}\left( x\right) \right| +\left| \left| \delta _{1}\left( x\right) \right| -\left| \delta _{2}\left( x\right) \right| \right| }{2}$
Η τελευταία ισότητα είναι γνωστή από την Α΄ Λυκείου , το β' μέλος της έχει όριο το

όταν $x\rightarrow x_{0}$ και από την προηγούμενη σχέση προκύτει το αποδεικτέο.

Όριο μιας "μόνο στους τύπους" δίκλαδης

Όριο μιας "μόνο στους τύπους" δίκλαδης

Re: Όριο μιας "μόνο στους τύπους" δίκλαδης

Μέλη σε σύνδεση