Μονότονη;

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με την ιδιότητα
$\displaystyle{f(x-y) = f(x) - f(y) \quad \text{\gr για κάθε} \; \; x , y \in \mathbb{R}}$
Να δειχθεί ότι:

(α) f(0)=0

.

(β) η

είναι

.

(γ) η

είναι γνησίως αύξουσα.

Έχω ενδοιασμό για το (γ).

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 4:50 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με την ιδιότητα
$\displaystyle{f(x-y) = f(x) - f(y) \quad \text{\gr για κάθε} \; \; x , y \in \mathbb{R}}$
Να δειχθεί ότι:

(α) .

(β) η είναι .

(γ) η είναι γνησίως αύξουσα.

Έχω ενδοιασμό για το (γ).

Χμμμμ.

Η άσκηση είναι λάθος σε πολλά επίπεδα, εκτός αν δεν βλέπω κάτι. Πρώτα απ' όλα θέτοντας f(x) = 0

για κάθε

, την ικανοποιεί χωρίς να ισχύει το β). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η εκφώνηση θέτει ακόμη

μη μηδενική συνάρτηση. Πάλι έχουμε πρόβλημα: Για $x-y=a, \, y=b$ , η υπόθεση γίνεται f(a+b)=f(a)+f(b)

.

Αυτή είναι η συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy που έχει πολλές λύσεις οι οποίες δεν ικανοποιούν το β). Για παράδειγμα (αλλά εκτός ύλης γιατί χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής) υπάρχουν μη μηδενικές τέτοιες

που μηδενίζονται στους ρητούς.

Ούτε η συνέχεια της

σώζει το γ). Π.χ. η f(x)=-x

είναι αντιπαράδειγμα.

Tolaso J Kos · #3

Πώς να μην έχει; Αφού ξέχασα την υπόθεση ότι η f(x)=0

έχει μοναδική ρίζα!!

#4

Τώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).

α) Άμεσο θέτοντας y=x

.

β) Αν f(a)=f(b)

τότε από την υπόθεση f(a-b)=0

. Από την υπόθεση περί μοναδικότητας, και με χρήση του α), είναι a-b=0

. Και λοιπά.

γ) Αντιπαράδειγμα η f(x)=-x

.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 5:58 pm
Τώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).

.........................

γ) Αντιπαράδειγμα η .

Μιχάλη ,αν ζητήσουμε να είναι γνησίως μονότονη, πάλι νομίζω ότι δεν μπορούμε να το αποδείξουμε. Θυμάμαι μερικές προϋποθέσεις

που η Cauchy οδηγεί στην y=ax

, αλλά το

δεν το θυμάμαι.

Ίσως να κάνω λάθος όμως.

Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 5:58 pm
Τώρα σώζονται τα α) και β) αλλά όχι το γ).

.........................

γ) Αντιπαράδειγμα η .
Μιχάλη ,αν ζητήσουμε να είναι γνησίως μονότονη, πάλι νομίζω ότι δεν μπορούμε να το αποδείξουμε. Θυμάμαι μερικές προϋποθέσεις

που η Cauchy οδηγεί στην , αλλά το δεν το θυμάμαι.

Ίσως να κάνω λάθος όμως.

Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.

Η πιο ασθενής συνθήκη για να οδηγεί η Cauchy σε συνεχή είναι
η συνάρτηση να είναι μετρήσιμη.
Θυμάμαι ότι το είχα βάλει και έδωσε λύση ο Βαγγέλης Μουρούκος.

Tolaso J Kos · #7

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pm
Ίσως να κάνω λάθος όμως.

Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.

Μπάμπη, το 1-1

βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η f(x)=0

έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.

#8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pm
Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.

.

Τόλη, προσοχή, η εκφώνηση της άσκησης ζητά αν η

είναι αύξουσα. Σε αυτό απάντησα με την f(x)=-x

. Στο ερώτημα αν είναι μονότονη δεν γνωρίζω την απάντηση (δεν το σκέφτηκα). Για συνεχείς συναρτήσεις, πάντως, η απάντηση είναι "ναι", αφού είναι της μορφής f(x)=cx

για κάποιο $c\ne 0$ .

#9

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pm
Ίσως να κάνω λάθος όμως.

Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
Μπάμπη, το βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.

Τόλη, αυτό που επισημαίνω είναι ότι δεν γνωρίζω αν το 1-1 που αποδείχθηκε αρκεί για το γνήσιο μονότονο.Για το γνήσια αύξουσα απάντησε ο Μιχάλης αρνητικά.
Καλό ΣΚ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 31, 2020 3:32 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 9:27 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 30, 2020 7:07 pm
Ίσως να κάνω λάθος όμως.

Θα μας πει ο Τόλης, αν το έχει λυμένο.
Μπάμπη, το βγαίνει , με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει μοναδική ρίζα. Ο ενδοιασμός μου ήταν στη μονοτονία αν αποδεικνύεται όπως είναι. Τελικά, δεν. Ευχαριστώ Μιχάλη.
Τόλη, αυτό που επισημαίνω είναι ότι δεν γνωρίζω αν το 1-1 που αποδείχθηκε αρκεί για το γνήσιο μονότονο.Για το γνήσια αύξουσα απάντησε ο Μιχάλης αρνητικά.
Καλό ΣΚ

Καμία σχέση για αυτές τις συναρτήσεις το 1-1

με το μονότονη εκτός αν πάρουμε συνεχή.
Δικαιολόγηση το βραδάκι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Για Hamel βάσεις υπάρχει αυτό
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=10&t=842
Μια Hamel βάση του $\mathbb{R}$ ως προς το $\mathbb{Q}$
είναι ένα σύνολο πραγματικών
$\left \{ q_{i}:i\in I \right \}$
με τις ιδιότητες
1)Αν πάρουμε πεπερασμένα $i_1,i_2,...i_n\in I$
και ρητούς r_1,r_2,...r_n

από την σχέση
$\displaystyle r_1q_{i_1}+r_2q_{i_2}+....+r_nq_{i_n}=0$
προκύπτει ότι r_1=r_2=....=r_n=0

2)Για κάθε πραγματικό

υπάρχουν
$i_1,i_2,...i_n\in I$
και ρητοί r_1,r_2,...r_n

ώστε να ισχύει
$\displaystyle a=r_1q_{i_1}+r_2q_{i_2}+....+r_nq_{i_n}$
Να σημειώσω ότι η ύπαρξη Hamel βάσης βασίζεται στο αξίωμα επιλογής.
Εστω μια $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
με την ιδιότητα f(x+y)=f(x)+f(y)

(*)
Εύκολα με χρήση επαγωγής μπορεί να αποδειχθεί ότι για
$r\in \mathbb{Q}$
είναι f(r)=rf(1)

Αν έχουμε μια Hamel βάση $\left \{ q_{i}:i\in I \right \}$ που έχει σαν ρητό στοιχείο της το

τότε
η

είναι ορισμένη αν γνωρίζουμε τα
$f( q_{i})$
Αν πάρουμε λοιπόν μια 1-1

συνάρτηση
$\displaystyle h:\left \{ q_{i}:i\in I \right \}\rightarrow \left \{ q_{i}:i\in I \right \}$
και θέσουμε $f( q_{i})=h( q_{i})$
τότε η

είναι

Για να γίνει πιο καθαρό για

στους πραγματικούς βρίσκουμε στοιχεία της βάσης ώστε
$\displaystyle a=r_1q_{i_1}+r_2q_{i_2}+....+r_nq_{i_n}$ .

Τότε είναι $\displaystyle f(a)=r_1h(q_{i_1})+r_2h(q_{i_2})+....+r_nh(q_{i_n})$

Είναι τετριμένο να επιλέξουμε την

έτσι ώστε η

να είναι μονότονη.

Να σημειώσω και το εξής.
Αν μια συνάρτηση είναι μονότονη τότε είναι και μετρήσιμη.
Και κάθε μετρήσιμη που ικανοποιεί την (*) αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής.

#12

Αν δοθεί οτι η $\displaystyle{f}$ είναι μονότονη ποιός είναι ο τυπος της?
νομίζω οτι αυτό ειναι πιο ενδιαφέρον (σωστό) ερώτημα.
Επισης αν δοθει $\displaystyle{xf(x)\ge 0\}$ f γν.αύξουσα και αναλογα οταν $\displaystyle{xf(x)\le 0}$

#13

Aφού $\displaystyle{xf(x)\ge 0}$ θετω $\displaystyle{x=x_1-x_2}$ με $\displaystyle{x_1>x_2}$ τότε $\displaystyle{f(x_1-x_2)>0}$ ή $\displaystyle{f(x_1)-f(x_2)>0 }$ και όμοια αν $\displaystyle{x_1<x_2}$ Δεδομένου ότι $\displaystyle{f(0)=0}$ η μοναδική ρίζα της $\displaystyle{f}$ (για τον λόγο αυτό δεν ισχύουν τα = στις προηγούμενες ανισότητες) συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{f}$ γν.αύξουσα στο $\displaystyle{R}$

Εχουμε $\displaystyle{f(na)=nf(a) , n\in Z ,a\in R}$ τότε $\displaystyle{ f(m/n x)=m f(x\n)=m n/nf(x/n)=m/n f(x) , m,n \in Z, x\in R}$ Ετσι για καθε ρητο $\displaystyle{r}$ ισχυει $\displaystyle{f(rx)=rf(x)}$ και για $\displaystyle{x=1}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(r)=rf(1)}$

αφού $\displaystyle{f}$ γν.αύξουσα $\displaystyle{f(0)=0}$ θα εχουμε $\displaystyle{f(1)>0}$ αρα $\displaystyle{f(x)/f(1)<x}$

Υποθετουμε οτι $\displaystyle{f(x)\ne xf(1)}$ πχ $\displaystyle{f(x)<xf(1)}$

ομως μεταξύ 2 πραγματικών $\displaystyle{f(x)/f(1),x}$ υπαρχει ρητος $\displaystyle{p}$ οποτε $\displaystyle{f(x)/f(1)<p<x}$ συνεπώς $\displaystyle{f(x)<f(1)p=f(p)}$ και αφου $\displaystyle{p<x, f\uparrow}$ θα έπρεπε $\displaystyle{f(p)<f(x)}$ ατοπο άρα
$\displaystyle{f(x)= xf(1)=ax}$

Μονότονη;

Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Re: Μονότονη;

Μέλη σε σύνδεση