Χωρίς παραγώγους

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθούν όλα τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} x^2 & , & x<1\\ \frac{1}{x} & , & x \geq 1 \end{matrix}\right.}$
Οι παράγωγοι ας λείψουν!

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 10:05 am
Να βρεθούν όλα τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} x^2 & , & x<1\\ \frac{1}{x} & , & x \geq 1 \end{matrix}\right.}$
Οι παράγωγοι ας λείψουν!

$\displaystyle \bullet$ Η συνάρτηση x^2, x<1

είναι ως γνωστόν γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle ( - \infty ,0]$ και γνησίως αύξουσα στο [0,1).

Άρα παρουσιάζει στο x_0=0

ολικό ελάχιστο ίσο με f(0)=0.

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x).$ H

είναι λοιπόν συνεχής στο

άρα και στο $\mathbb{R}.$

Για $\displaystyle 1 \le {x_1} < {x_2} \Rightarrow \frac{1}{{{x_1}}} > \frac{1}{{{x_2}}} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}),$ που σημαίνει ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty).$

Επομένως, παρουσιάζει στο x'_0=1

τοπικό μέγιστο ίσο με f(1)=1.

Χωρίς παραγώγους

Χωρίς παραγώγους

Re: Χωρίς παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση