Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Οκτ 17, 2017 11:23 pm

Για τη συνάρτηση f(x)=x+\ln (e^{2x}+3e^x+3) να βρείτε:
α) την αντίστροφή της
β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=\ln (f(x)-9f^{-1}(x))
γ) το ελάχιστο της συνάρτησης h(x)=f^4(x)-2f^3(x)+f(x)+1


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 18, 2017 12:46 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Τρί Οκτ 17, 2017 11:23 pm
Για τη συνάρτηση f(x)=x+\ln (e^{2x}+3e^x+3) να βρείτε:
α) την αντίστροφή της
β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=\ln (f(x)-9f^{-1}(x))
...μια ημιτελής νυχτερινή προσπάθεια....

α) Λύνοντας την εξίσωση

f(x)=y\Leftrightarrow \ln ({{e}^{3x}}+3{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}})=y\Leftrightarrow {{e}^{3x}}+3{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}}={{e}^{y}}\Leftrightarrow

{{e}^{3x}}+3{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}}+1={{e}^{y}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}={{e}^{y}}+1\Leftrightarrow {{e}^{x}}+1=\sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}\Leftrightarrow

{{e}^{x}}=\sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1>0 \\  
 & x=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1 \right) \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}>1 \\  
 & x=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1 \right) \\  
\end{matrix} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}>1 \\  
 & x=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1 \right) \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & {{e}^{y}}+1>1 \\  
 & x=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1 \right) \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & {{e}^{y}}>0 \\  
 & x=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{y}}+1}-1 \right) \\  
\end{matrix} \right.

απ όπου αφού η ανισότητα ισχύει για κάθε y\in R και η εξίσωση έχει μοναδική λύση, η συνάρτηση είναι '1-1'

επομένως αντιστρέφεται με {{f}^{-1}}:f(R)\to R με {{f}^{-1}}(x)=\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{x}}+1}-1 \right)

β) Για να ορίζεται η g(x)=\ln (f(x)-9f^{-1}(x)) πρέπει και αρκεί να υπάρχουν x\in R ώστε

f(x)-9{{f}^{-1}}(x)>0\Leftrightarrow f(x)>9{{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \ln ({{e}^{3x}}+3{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}})>9\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{x}}+1}-1 \right)\Leftrightarrow \ln \left( {{({{e}^{x}}+1)}^{3}}-1 \right)>9\ln \left( \sqrt[3]{{{e}^{x}}+1}-1 \right)

και αν \sqrt[3]{{{e}^{x}}+1}-1=\kappa >0\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{e}^{x}}+1}=\kappa +1\Leftrightarrow {{e}^{x}}+1={{(\kappa +1)}^{3}}

προκύπτει ισοδύναμα η ανίσωση

\ln \left( {{(\kappa +1)}^{9}}-1 \right)>9\ln \kappa \Leftrightarrow \ln \left( {{(\kappa +1)}^{9}}-1 \right)>\ln {{\kappa }^{9}}\Leftrightarrow {{(\kappa +1)}^{9}}-1>{{\kappa }^{9}}

...και για την τελευταία ψάχνω μια σύντομη διαδρομή...

...και αφού δεν βλέπω κάτι σύντομο...επέμβαση με άλλα όπλα...( παράνομα εκτός φακελλου...)

Μελετώντας την συνάρτηση \phi (x)={{(x+1)}^{9}}-{{x}^{9}}-1,\,\,\,x\ge 0 που είναι παραγωγίσιμη με

{\phi }'(x)=9{{(x+1)}^{8}}-9{{x}^{8}},\,\,\,x\ge 0 και {\phi }'(x)=0\Leftrightarrow 9{{(x+1)}^{8}}-9{{x}^{8}}=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{8}}={{x}^{8}}

\Leftrightarrow (x+1=x,\,x+1=-x)\Leftrightarrow (1=0,\,\,x=-\frac{1}{2}) που σημαίνει ότι η {\phi }'(x)\ne 0,\,\,x\ge 0

και επειδή είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο , και αφού {\phi }'(0)=9>0 είναι

{\phi }'(x)>0,\,\,x>0 που σημαίνει ότι η \phi (x)={{(x+1)}^{9}}-{{x}^{9}}-1, είναι γνήσια αύξουσα στο [0,\,\,+\infty )

οπότε για x>0\Rightarrow \phi (x)>\phi (0)=0, επομένως η (1) ισχύει για κάθε \kappa >0

άρα και η αρχική ανίσωση για κάθε x\in R


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9578
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 18, 2017 9:35 am

Για την ανίσωση \displaystyle {(x + 1)^9} - x^9 - 1 > 0, x>0, που γράφει πιο πάνω ο Βασίλης.

Για κάθε x>0, και \displaystyle n \ge 2, είναι \displaystyle {(x + 1)^n} - {x^n} - 1 > 0

Πράγματι, \displaystyle {(x + 1)^n} - {x^n} - 1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
n\\ 
1 
\end{array}} \right){x^{n - 1}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
n\\ 
2 
\end{array}} \right){x^{n - 2}} + ... + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
n\\ 
{n - 1} 
\end{array}} \right)x > 0
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Οκτ 18, 2017 9:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12419
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 18, 2017 9:37 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Οκτ 18, 2017 12:46 am
{{(\kappa +1)}^{9}}-1>{{\kappa }^{9}}

...και για την τελευταία ψάχνω μια σύντομη διαδρομή...

...και αφού δεν βλέπω κάτι σύντομο...επέμβαση με άλλα όπλα...( παράνομα εκτός φακελλου...)
Πιο απλά, είναι σαφές από το ανάπτυγμα του διωνύμου ότι (k+1)^9=k^9 + thetikous \, orous +1 από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.

Αν θεωρούμε ότι ο μαθητής δεν μπορεί να χειριστεί έννατη δύναμη (*), μπορούμε να διεκπεραιώσουμε την άσκηση με χρήση τρίτης δύναμης (που την ξέρει) ως εξής. Θα πλατειάσω λίγο για να ... προσομοιώσω τον μαθητή:

(k+1)^9 = \left [(k+1)^3\right ] ^3 = (k^3+3k^2+3k+1)^3> (k^3+1)^3 = k^9+ 3k^6+3k^3+1 > k^9+1

και λοιπά.

(*) Εδώ φαίνεται άλλη μια φορά ένα από τα δράματα της Μαθηματικής Παιδείας που παρέχουμε στην χώρα μας: Ο μαθητής ξέρει το θεώρημα Bolzano, το Rolle, l' Hospital, ολοκήρωση, κάποιες διαφορικές εξισώσεις και άλλα τόσα, αλλά αγνοεί βασικά πράγματα όπως το ανάπτυγμα του διωνύμου. Και μετά αναρωτιώμαστε "τις πταίει". Παρατηρώ τον μέσο φοιτητή και με θλίψη διαπιστώνω ότι ξέρει ελάχιστα πράγματα και αυτά με τεράστια σύγχυση στο μυαλό του.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Οκτ 18, 2017 10:08 am

Μια ιδέα για το (γ) χωρίς την επέμβαση με άλλα όπλα:
f^4(x)-2f^3(x)+f(x)+1=(f^2(x)-f(x)+1)^2-3f^2(x)+3f(x)=(f^2(x)-f(x)+1)^2-3((f^2(x)-f(x))
Το f^2(x)-f(x)+1>0
επομένως η παράσταση ελαχιστοποιείται όταν η ποσότητα 3(f^2(x)-f(x)) αποκτά τη μέγιστη τιμή της
Θα το συνέχιζα αλλά δεν έχω περισσότερο χρόνο


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Οκτ 18, 2017 10:29 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Οκτ 18, 2017 9:37 am
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Οκτ 18, 2017 12:46 am
{{(\kappa +1)}^{9}}-1>{{\kappa }^{9}}

...και για την τελευταία ψάχνω μια σύντομη διαδρομή...

...και αφού δεν βλέπω κάτι σύντομο...επέμβαση με άλλα όπλα...( παράνομα εκτός φακελλου...)
Πιο απλά, είναι σαφές από το ανάπτυγμα του διωνύμου ότι (k+1)^9=k^9 + thetikous \, orous +1 από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.

Αν θεωρούμε ότι ο μαθητής δεν μπορεί να χειριστεί έννατη δύναμη (*), μπορούμε να διεκπεραιώσουμε την άσκηση με χρήση τρίτης δύναμης (που την ξέρει) ως εξής. Θα πλατειάσω λίγο για να ... προσομοιώσω τον μαθητή:

(k+1)^9 = \left [(k+1)^3\right ] ^3 = (k^3+3k^2+3k+1)^3> (k^3+1)^3 = k^9+ 3k^6+3k^3+1 > k^9+1

και λοιπά.

(*) Εδώ φαίνεται άλλη μια φορά ένα από τα δράματα της Μαθηματικής Παιδείας που παρέχουμε στην χώρα μας: Ο μαθητής ξέρει το θεώρημα Bolzano, το Rolle, l' Hospital, ολοκήρωση, κάποιες διαφορικές εξισώσεις και άλλα τόσα, αλλά αγνοεί βασικά πράγματα όπως το ανάπτυγμα του διωνύμου. Και μετά αναρωτιώμαστε "τις πταίει". Παρατηρώ τον μέσο φοιτητή και με θλίψη διαπιστώνω ότι ξέρει ελάχιστα πράγματα και αυτά με τεράστια σύγχυση στο μυαλό του.
Συμφωνώντας απόλυτα θα έλεγα και κάτι ακόμα: κάποια στιγμή πρέπει να μάθουν και την απόδειξη με επαγωγή. Η παραπάνω πρόταση στους θετικούς αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγικό τρόπο επίσης


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 am

Για το (β):
f(x)=x+\ln (e^{2x}+3e^x+3)>x+\ln e^{2x} ή
f(x)>3x για κάθε x\in \mathbb R οπότε
f(f^{-1}(x))>3f^{-1}(x) ή
x>3f^{-1}(x) και τελικά
f(x)>3x>9f^{-1}(x) για κάθε x\in \mathbb R.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 19, 2017 5:50 pm

Υπάρχουν αβλεψίες στις πράξεις.Η λύση διορθωμένη βρίσκεται παρακάτω
Κάνω το γ) για να κλείσει.

Θεωρούμε την g(t)=t^{4}-2t^{3}+t+1

Είναι g'(t)=4t^{3}-6t^{2}+1

Οι ρίζες της παραγώγου είναι τα \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}=r_{1},\dfrac{1}{2}=r_{2},\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=r_{3}

Αφου g(r_{1})=-4,g(r_{2})>0,g(r_{3})=-6

η g παίρνει ελάχιστη τιμή όταν t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

Αρα το ελάχιστο της h είναι το -6 και το παίρνει όταν f(x)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

Δηλαδή όταν lne^{x}(e^{2x}+3e^{x}+3)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

Βγάζοντας τον λογάριθμο και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα των κύβων παίρνουμε

(e^{x}+1)^{3}=1+e^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}

Η τελευταία λύνεται εύκολα.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Οκτ 20, 2017 1:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Οκτ 19, 2017 11:07 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 19, 2017 5:50 pm

Θεωρούμε την g(t)=t^{4}-2t^{3}+t+1

Είναι g'(t)=4t^{3}-6t^{2}+1

Οι ρίζες της παραγώγου είναι τα \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}=r_{1},\dfrac{1}{2}=r_{2},\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=r_{3}

Αφου g(r_{1})=-4,g(r_{2})>0,g(r_{3})=-6
Ένα τυπογραφικό :\displaystyle g({r_1}) = g({r_3}) = \frac{3}{4}


Kαλαθάκης Γιώργης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Οκτ 20, 2017 1:16 am

Για το (γ) ερώτημα
h(x)=f^4(x)-2f^3(x)+f^2(x)-f^2(x)+f(x)+1=(f^2(x)-f(x))^2-(f^2(x)-f(x))+1

h(x)=(f^2(x)-f(x)-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}

Το ζητούμενο ελάχιστο είναι το \dfrac{3}{4} και επιτυγχάνεται όταν f^2(x)-f(x)-\dfrac{1}{2}=0. (Η τελευταία έχει ακριβώς δύο λύσεις αφού η f είναι 1-1 και έχει σύνολο τιμών όλο το \mathbb R.)

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας.

Να προσθέσω και ένα ακόμα ερώτημα:
δ) Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς c ώστε η συνάρτηση k(x)=\ln (f(x)-cf^{-1}(x)) να έχει πεδίο ορισμού όλο το \mathbb R;


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 20, 2017 1:34 am

Οι λάθος πράξεις Γιώργη δεν είναι τυπογραφικό.Το λιγότερο είναι αβλεψία.
Σε ευχαριστώ που κάθισες και έκανες τις πράξεις.
Διορθώνω λοιπόν.


Θεωρούμε την g(t)=t^{4}-2t^{3}+t+1

Είναι g'(t)=4t^{3}-6t^{2}+1

Οι ρίζες της παραγώγου είναι τα \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}=r_{1},\dfrac{1}{2}=r_{2},\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=r_{3}

Αφου g(r_{1})=g(r_{3})=\frac{3}{4},g(r_{2})=\frac{21}{16}

η g παίρνει ελάχιστη τιμή όταν t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} η t=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}

Αρα το ελάχιστο της h είναι το \frac{3}{4}

και το παίρνει όταν f(x)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} η f(x)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}

Δηλαδή όταν lne^{x}(e^{2x}+3e^{x}+3)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} η lne^{x}(e^{2x}+3e^{x}+3)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}

Βγάζοντας τον λογάριθμο και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα των κύβων παίρνουμε

(e^{x}+1)^{3}=1+e^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}

Η τελευταία λύνεται εύκολα. Ομοια για την άλλη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Κω.Κωνσταντινίδης και 2 επισκέπτες