Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

coltrane · #1

Καλησπέρα σε όλους,

είναι το πρώτο μου post στο forum αν και το παρακολουθώ εδώ και καιρό.
Έχω μια ερώτηση η οποία με έχει ταλαιπωρήσει μερικές μέρες τώρα...

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , η οποία είναι 1-1, τότε αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της αντίστροφής της, τότε προφανώς αναζητάμε τις λύσεις της εξίσωσης : $f(x)=f^{-1}(x)$ , με την $f^{-1}(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

Αν θεωρήσουμε τώρα την συνάρτηση : $g(x)=f(x)-f^{-1}(x),x\epsilon \mathbb{R}$ , τότε ψάχνουμε τις ρίζες της g, για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων που ανέφερα παραπάνω.

Κατασκευαστικά μπορώ με τον ορισμό της "1-1" να αποδείξω ότι η g είναι και αυτή 1-1 συνάρτηση, εύκολα κιόλας αφού είναι ορισμένη στο R. Στην πραγματικότητα όμως, δεν είναι πάντα "1-1"!

Μπορεί κάποιος να μου πει που κάνω το λάθος;

#2

Καλώς όρισες στο

Η διαφορά δύο $\displaystyle 1 - 1$ συναρτήσεων δεν είναι πάντα $\displaystyle 1 - 1$ συνάρτηση . Π.χ. αν $\displaystyle f(x) = g(x) = {x^3} \Rightarrow f(x) - g(x) = 0$
Ειδικά για τις $\displaystyle f,{f^{ - 1}}$ , επειδή έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας , δεν μπορείς να βγάλεις συμπέρασμα άμεσα
για τη μονοτονία της $\displaystyle g(x) = f(x) - {f^{ - 1}}(x)$ οπότε δεν αποδεικνύεις το $\displaystyle 1 - 1$ με χρήση της μονοτονίας .

sot arm · #3

Αφού λοιπόν δεν είναι πάντα '1-1' προφανώς υπάρχει λάθος στην πορεία που κατασκευαστικά δείχνεις ότι η g είναι '1-1',
υποθέτω πού και βάζω μια αντίστοιχη υπόδειξη αν και πρέπει να δείξεις την πορεία που ακολουθείς.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

coltrane έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 8:23 pm
Κατασκευαστικά μπορώ με τον ορισμό της "1-1" να αποδείξω ότι η g είναι και αυτή 1-1 συνάρτηση, εύκολα κιόλας

Ένα εύκολο παράδειγμα που δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος είναι η f(x)=x+1

. Εδώ $f^{-1}(x) = x-1,$ οπότε $f(x)-f^{-1}(x) = (x+1)-(x-1)=2$ που κάθε άλλο παρά 1-1

δεν είναι. Είναι το άλλο άκρο: σταθερή.

Λευτέρης Παπανικολάου · #5

coltrane έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 8:23 pm
Καλησπέρα σε όλους,

είναι το πρώτο μου post στο forum αν και το παρακολουθώ εδώ και καιρό.
Έχω μια ερώτηση η οποία με έχει ταλαιπωρήσει μερικές μέρες τώρα...

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , η οποία είναι 1-1, τότε αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της αντίστροφής της, τότε προφανώς αναζητάμε τις λύσεις της εξίσωσης : $f(x)=f^{-1}(x)$ , με την $f^{-1}(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

Αν θεωρήσουμε τώρα την συνάρτηση : $g(x)=f(x)-f^{-1}(x),x\epsilon \mathbb{R}$ , τότε ψάχνουμε τις ρίζες της g, για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων που ανέφερα παραπάνω.

Κατασκευαστικά μπορώ με τον ορισμό της "1-1" να αποδείξω ότι η g είναι και αυτή 1-1 συνάρτηση, εύκολα κιόλας αφού είναι ορισμένη στο R. Στην πραγματικότητα όμως, δεν είναι πάντα "1-1"!

Μπορεί κάποιος να μου πει που κάνω το λάθος;

Και κάτι αλλο, από αυτά που έχεις γράψει ΔΕΝ προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της f, δηλαδή το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, είναι το R

Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Re: Κοινά σημεία συνάρτησης και της αντίστροφης της.

Μέλη σε σύνδεση