Όριο στο άπειρο

Aladdin · #1

Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \eta \mu (\ln (x + 3))}} {{2 + \eta \mu (\ln x)}}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Η παράσταση μέσα στο όριο είναι

$1+\dfrac{\sin ln(x+3)-\sin lnx}{2+\sin lnx}=1+g(x)$

Θα χρειασθούμε την ανισότητα $\left | \sin x-\sin y \right |\leq \left | x-y \right |$

Προκύπτει από τις
$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
$\left | \sin x \right |\leq \left | x \right |$

Ετσι έχουμε
$\left | g(x) \right |\leq \left | ln(x+3)-lnx \right |=\left | ln\frac{x+3}{x} \right |$

Επειδή $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x+3}{x}=1$ και η

είναι συνεχής έχουμε

$\lim_{x\rightarrow \infty }ln\frac{x+3}{x}=0$

Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής
το αρχικό όριο είναι

Όριο στο άπειρο

Όριο στο άπειρο

Re: Όριο στο άπειρο

Μέλη σε σύνδεση