Ίσες Συναρτήσεις;

Tolaso J Kos · #1

Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

dr.tasos · #2

είναι γιατί έχουν ίσα πεδία ορισμού και $f(1)=g(1) \wedge f(0)=g(0)$

parmenides51 · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

δεν νομίζω οτι θα μπορούσες να προτείνεις πιο απλή άσκηση στην ισότητα συναρτήσεων
ας προτείνουμε οτι έχει ένα ενδιαφέρον και οχι κάτι τελείως στοιχειώδες, τετριμμένο, εισαγωγικό

την επόμενη φορά δηλαδή τι θα κάνεις;
θα προτείνεις μια εξίσωση β' βαθμού στην Γ΄Γυμνασίου της μορφής $\displaystyle{3x^2-2x+7=0}$ ;
δεν βρίσκω το παραμικρό όφελος σε στοιχειώδεις ασκήσεις μηδενικής δυσκολίας
πιο απλές ασκήσεις, πεθαίνεις... που λέει ο λαός

φιλικά

Tolaso J Kos · #4

κ. parmenides51 δεκτό

Τετριμμένο πάντως δε θα το έλεγα.. Προσωπικά εγώ τη πάτησα!
Ναι, είναι εύκολη αλλά είναι πιο πολύ για εξάσκηση στην ισότητα συναρτήσεων στα αρχικά της στάδια , γιατί πολύς κόσμος μπερδεύεται! Δε το έβαλα για κάποιο άλλο λόγο!

Άλλα μάλλον έπρεπε να βάλω μία άλλη στη θέση της! Ίσως κάποια άλλη φορά!

Φιλικά

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

Η άσκηση είναι πολύ καλή !

Στις πανελλήνιες πάρα πολλοί μαθητές, όταν τέθηκε ο ορισμός της ισότητας συναρτήσεων, έγραφαν :

'' Δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και τον ίδιο τύπο ''.

κάτι που διαφέρει αρκετά από τον ορθό ορισμό.

Μπάμπης

Tolaso J Kos · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.
Η άσκηση είναι πολύ καλή !

Στις πανελλήνιες πάρα πολλοί μαθητές, όταν τέθηκε ο ορισμός της ισότητας συναρτήσεων, έγραφαν :

'' Δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και τον ίδιο τύπο ''.

κάτι που διαφέρει αρκετά από τον ορθό ορισμό.

Μπάμπης

κ. Μπάμπη, σας ευχαριστώ!
Να πω ότι η άσκηση τέθηκε σε διαγώνισμα και την κατασκεύασε ο θείος μου! Μαζί με μία άλλη, πιο γενική την οποία θα την ανεβάσω κάποια στιγμή!

Ο ορισμός των ίσων συναρτήσεων δίνει:
Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν
α)έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
β) $\forall x\in A$ είναι

ο οποίος ορισμένες φορές παρεξείται, στο 2ο σημείο. Ωραία, γυρνάω στο παράδειγμα που έδωσα. Οι συναρτήσεις έχουν ίδιο πεδίο ορισμού (το $A\left \{ 0, 1 \right \}$ ), όμως αν παρανοήσουμε το 2ο σημείο θα πούμε ότι $x^2\neq x^3\Rightarrow f(x)\neq g(x)$ κάτι το οποίο δεν ισχύει!

#7

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

Να πω κι εγώ πως η άσκηση είναι μία χαρά για αυτό που θέλει να δείξει.
Δεν θέλω καμία αντιπαράθεση με τον φίλο Parmenides απλά λέω τη γνώμη μου.

#8

Tolaso J Kos έγραψε:
κ. Μπάμπη, σας ευχαριστώ!
Να πω ότι η άσκηση τέθηκε σε διαγώνισμα και την κατασκεύασε ο θείος μου! Μαζί με μία άλλη, πιο γενική την οποία θα την ανεβάσω κάποια στιγμή!

Ο ορισμός των ίσων συναρτήσεων δίνει:
Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν
α)έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
β) $\forall x\in A$ είναι

ο οποίος ορισμένες φορές παρεξείται, στο 2ο σημείο. Ωραία, γυρνάω στο παράδειγμα που έδωσα. Οι συναρτήσεις έχουν ίδιο πεδίο ορισμού (το $A\left \{ 0, 1 \right \}$ ), όμως αν παρανοήσουμε το 2ο σημείο θα πούμε ότι $x^2\neq x^3\Rightarrow f(x)\neq g(x)$ κάτι το οποίο δεν ισχύει!

Αυτό ακριβώς !

Το ερώτημα που έβαλες είχε αυτό το κρυφό διδακτικό σημείο . Αρκετά κρυφό μάλιστα, που και εσύ ο ίδιος, αν και το κατάλαβες, δεν το σχολίασες όσο έπρεπε, μάλλον το προσπέρασες και καλά έκανες ίσως .

Μέσα στον ατέλειωτο φόρτο εργασίας που έχει ο Parmenides με την αρχειοθέτηση , μάλλον τον παραπλανήσαμε και δίκαια μας ...μάλωσε για το επίπεδο δυσκολίας του ερωτήματος , πάντα όμως ως στοργικός δάσκαλος

και όχι για να μας επικρίνει. Τον κατανούμε και τον ευχαριστούμε για όσα μας προσφέρει.

Μπ.

Tolaso J Kos · #9

Αυτό πράγματι ήταν το κρυφό σημείο και ταυτόχρονα αρκετά διδακτικό (έτσι θέλω να πιστεύω)
Δηλαδή πότε στα μαθηματικά να μην κόβουμε φράσεις όπως το $\displaystyle{\forall x\in A}$ και να λέμε "αυτό εννοείται".

Τίποτα δεν εννοείται στα Μαθηματικά! Σωστά; Και έπρεπε να το μάθω μέσω του σκληρού τρόπου και να το εμπεδώσω!

Να ευχαριστήσω και γω εκ μέρους μου τον parmenides

για όσα μας προσφέρει, γιατί χάρη σε αυτόν έχω βρει αρκετά πράγματα ταχύτητα!

Τόλης

pana1333 · #10

Καλησπέρα. Αν έπεφτε κάτι παρόμοιο στις εξετάσεις, είμαι σίγουρος ότι θα "έκαιγε" πολύ κόσμο.....Έξυπνο και διδακτικό ερώτημα....

Giorgos S · #11

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

Αρκετά επικίνδυνο το $\left \{0,1\right \}$ , καθώς μοιάζει με το [0,1]

....

irakleios · #12

Πολύ ωραία άσκηση με πολύ διδακτικό ενδιαφέρον . Τέτοιες απλές αλλά ωραίες ασκήσεις είναι πολύ χρήσιμες για να εμπεδώσει κανείς τέλεια την θεωρία . Μακάρι να είχαμε όλοι μας τέτοιες ωραίες ιδέες .

Λάμπρος Μπαλός · #13

Θα συμφωνήσω με τον parmenides ως προς το ότι είναι πολύ εύκολη. Μόνο που είναι εξαιρετικά διδακτική. Μου αρέσει ο,τιδήποτε περιέχει αυστηρό ορισμό συναρτήσεων.
Θα πρότεινα το εξής.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{\sqrt{x}}$
Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f(x)

και $2f'(x)\sqrt{x}$ είναι ίσες.

kostas_zervos · #14

Όπως επίσης αν οι $f(x)=x\sqrt{x}$ και $g(x)=\dfrac{2}{3}xf'(x)$ είναι ίσες.

Tolaso J Kos · #15

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Θα συμφωνήσω με τον parmenides ως προς το ότι είναι πολύ εύκολη. Μόνο που είναι εξαιρετικά διδακτική. Μου αρέσει ο,τιδήποτε περιέχει αυστηρό ορισμό συναρτήσεων.
Θα πρότεινα το εξής.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{\sqrt{x}}$
Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις και $2f'(x)\sqrt{x}$ είναι ίσες.

Καλησπέρα,
Έστω $\displaystyle{g(x)=f(x), \, \, \, \, h(x)=2f'(x)\sqrt{x}}$ . Τότε οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες , καθώς τα πεδία ορισμού τους είναι $\displaystyle{A_g=[0, +\infty )}$ και $\displaystyle{A_h=(0, +\infty )}$ αντίστοιχα, παρόλο που $\displaystyle{h(x)=2\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\sqrt{x}=e^{\sqrt{x}}}$ .

kostas_zervos έγραψε:Όπως επίσης αν οι $f(x)=x\sqrt{x}$ και $g(x)=\dfrac{2}{3}xf'(x)$ είναι ίσες.

Επίσης οι συναρτήσεις f, g

δεν είναι ίσες, γιατί πάλι δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, παρόλο που είναι: $\displaystyle{g(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot \frac{3\sqrt{x}}{2}=x\sqrt{x}}$ .

Ελπίζω να μην τη πάτησα σαν αγράμματος!!
Καλό σας βράδυ..

Τόλης

kostas_zervos · #16

Tolaso J Kos έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Όπως επίσης αν οι $f(x)=x\sqrt{x}$ και $g(x)=\dfrac{2}{3}xf'(x)$ είναι ίσες.
Επίσης οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, γιατί πάλι δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, παρόλο που είναι: $\displaystyle{g(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot \frac{3\sqrt{x}}{2}=x\sqrt{x}}$ .

Ξανακοίταξέ το Τόλη....

apotin · #17

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2\, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ και $g(x)=x^3, \, \, \, \, x\in \left \{ 0, 1 \right \}$ . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Αν έπεφτε κάτι παρόμοιο στις εξετάσεις, είμαι σίγουρος ότι θα "έκαιγε" πολύ κόσμο.....Έξυπνο και διδακτικό ερώτημα....

Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο:

σελ.133, μετά τον ορισμό της συνάρτησης, περίπου στο μέσον

ΠΡΟΣΟΧΗ
Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου:
-Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
-Όταν ...

σελ.143, μετά τον ορισμό της σύνθεσης, προς το τέλος της σελίδας

ΠΡΟΣΟΧΗ
Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους
έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Δεν μπορώ να καταλάβω για πιο λόγο θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις ένα τέτοιο ερώτημα!

Γιατί πρέπει να διδάξω κάτι που με έμφαση τονίζεται μέσα στο σχολικό βιβλίο ότι δεν προβλέπεται!

Το μόνο που θα προσέφερε κάτι τέτοιο θα ήταν ανασφάλεια και ανησυχία προς τους υποψήφιους και στο κομμάτι
της θεωρίας (την οποία ανασφάλεια και ανησυχία ήδη αισθάνονται μετά τα θέματα των τελευταίων ετών όσον
αφορά τις ασκήσεις)

Μήπως σκάβουμε το λάκκο μας;

Tolaso J Kos · #18

kostas_zervos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Όπως επίσης αν οι $f(x)=x\sqrt{x}$ και $g(x)=\dfrac{2}{3}xf'(x)$ είναι ίσες.
Επίσης οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, γιατί πάλι δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, παρόλο που είναι: $\displaystyle{g(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot \frac{3\sqrt{x}}{2}=x\sqrt{x}}$ .

Ξανακοίταξέ το Τόλη....

Γιατί ;; Όταν παραγωγίζω η παραγώγιση γίνεται σε ανοιχτό διάστημα! Τι δε βλέπω;

Τόλης

kostas_zervos · #19

Tolaso J Kos έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Όπως επίσης αν οι $f(x)=x\sqrt{x}$ και $g(x)=\dfrac{2}{3}xf'(x)$ είναι ίσες.
Επίσης οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, γιατί πάλι δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, παρόλο που είναι: $\displaystyle{g(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot \frac{3\sqrt{x}}{2}=x\sqrt{x}}$ .

Ξανακοίταξέ το Τόλη....
Γιατί ;; Όταν παραγωγίζω η παραγώγιση γίνεται σε ανοιχτό διάστημα! Τι δε βλέπω;

Τόλης

Η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

, αφού $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$ .

Άρα η

ορίζεται στο $[0,+\infty)$ .

Tolaso J Kos · #20

Ουπς...

αυτό δεν το έλεγξα! Συγνώμη!
Ναι, η αλήθεια είναι ότι παρασύρθηκα και από το παραπάνω παράδειγμα του κ. Λάμπρου, και δεν το έδωσα και πολλή σημασία μετά. ... Στην αρχή νόμισα ότι κατάλαβα που είναι το λάθος, αλλά τελικά δεν είχα καταλάβει, και το μυαλό μου δεν μου πήγε να εξετάσω αν η

παραγωγίσιμη στο x_0=0

.

Ωραία, κάτι μάθαμε και σήμερα, αφού την πάτησα σαν αγράμματος.

Τόλης

Ίσες Συναρτήσεις;

Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Re: Ίσες Συναρτήσεις;

Μέλη σε σύνδεση