Συναρτησιακούλα

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\frac{1}{x}f(-x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x ,}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}.$

Garfield · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\frac{1}{x}f(-x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x ,}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}.$

$\bullet$ Για $\displaystyle{x= -x}$ η αρχική σχέση μας δίνει: $\displaystyle{ -\frac{1}{x} f(x) + f \left( - \frac{1}{x} \right) = - x \implies f(x) -xf \left( - \frac{1}{x} \right)= x^{2} \quad \forall x \neq 0 \quad (1) }$

$\bullet$ Για $\displaystyle{x= \frac{1}{x}}$ η αρχική σχέση μας δίνει: $\displaystyle{ xf \left( - \frac{1}{x} \right) + f(x) = \frac{1}{x}} \quad \forall x \neq 0 \quad (2)$

Με πρόσθεση των (1)

και

παίρνουμε ότι: $\displaystyle{ \boxed{f(x)= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} + x^{2} \right) }\quad \forall x \neq 0 }$ .

edit: Διορθώθηκε η πρώτη σχέση...είχα γράψει το δεύτερο μέλος -1/x

αντί του ορθού

. Ευχαριστώ το μέλος socrates για τον εντοπισμό και την επισήμανση.

Συναρτησιακούλα

Συναρτησιακούλα

Re: Συναρτησιακούλα

Μέλη σε σύνδεση