Ένα Διαγώνισμα του 2011 στα 'Ορια-Συνέχεια

#1

Παραθέτω ένα διαγώνισμα που έγραψαν οι μαθητές μου δύο τμημάτων διάρκειας 45 λεπτών στις 20 Δεκεμβρίου. Ήταν επαναληπτικό σε όλο το κεφάλαιο, και οι μαθητές ετοιμάζονταν ενόσω διδάσκονταν παραγώγους (το τελευταίο μάθημα ήταν στο ρυθμό μεταβολής). Τα πρώτα ερωτήματα προέρχονται, κατά πάγια τακτική μου από ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Ο βασικός στόχος είναι να κατοχυρωθούν βασικές γνώσεις. Το θέμα 2)β) έχει κάποια σχέση και με την συζήτηση στο viewtopic.php?f=52&t=21712. Αρκετοί μαθητές έδωσαν διαισθητική απάντηση.
Θέμα 1
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x) = 1 + \frac{1}{x}$ και $g(x) = \frac{x}{{1 - x}}}$
1) Να βρείτε τις συναρτήσεις $f + g,\,\,f - g,\,\,fg$ και $\frac{f}{g}$ .
2) α) Να βρεθεί ο $\alpha$ ώστε η συνάρτηση $\phi :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με
$\displaystyle{\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x \right)}&{x < \alpha }\\ {f\left( x \right)}&{x \ge \alpha } \end{array}} \right.}$
να είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
β) Να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα $f=\frac{1}{g^{-1}}$ .
Θέμα 2
Δίνεται η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2}$
1) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης

για όλες τις πραγματικές τιμές του

.
2) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία $\varepsilon$ του επιπέδου έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την γραφική παράσταση $\mathcal{C}_{f}$ της

.

Μαυρογιάννης