Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#1

Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $f(x) = \sqrt x + x^2$ .

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι

και να εξετάσετε αν η

αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : $f^{-1}(x^2-1) < x$

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)

k-ser · #2

Μπάμπη, καλή άσκηση με δύσκολα σημεία που θα προβληματίσουν τους μαθητές.

1. Η εξίσωση $f(x)=y\Leftrightarrow \sqrt{x}+x^2-y=0$ , $x\geq0$ είναι αδύνατη αν y<0

και, αν

μας "κρύβει" τη θετική της λύση.

2. Το 1-1 ή τη μονοτονία της συνάρτησης είμαστε αναγκασμένοι να το εξετάσουμε κάνοντας γινόμενο τη διαφορά: f(x_1)-f(x_2)

.
Είναι
$\displaystyle f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}+x_1^2-\sqrt{x_2}-x_2^2=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)= \left(x_1-x_2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+x_1+x_2\right)$ .
Βέβαια, με την βοήθεια των παραγώγων τα πράγματα είναι πιο εύκολα.

3. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης θα υπολογιστεί είτε με τη μονοτονία - συνέχεια και το όριο στο $+\infty$ , είτε με το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση $g(x)=\sqrt{x}+x^2-y$ στο $[0,\sqrt{y}]$ .

4. Η ανίσωση $\displaystyle f^{-1}\left(x^2-1\right)<x$ χρειάζεται τον περιορισμό $x^2-1\geq0$ , οπότε μπορεί να λυθεί για τα $x\in (-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ .
Έτσι,
για $x\leq-1$ είναι αδύνατη,αφού το σύνολο τιμών της $f^{-1}$ είναι το $D_f=[0,+\infty)$ και
για $x\geq1$ είναι ισοδύναμη, λόγω μονοτονίας, με την $\displaystyle f\left(f^{-1}\left(x^2-1\right)\right)<f(x)\Leftrightarrow x^2-1<x^2+\sqrt{x}$ το οποίο ισχύει.

Ενδιαφέρον θα είχε να δοθεί η ανίσωση: $\displaystyle f^{-1}\left(x^2-1\right)>x$ με λύσεις $x\in (-\infty,-1]$
ή,
η αρκετά πιο δύσκολη: Να δειχθεί ότι η ανίσωση $\displaystyle f^{-1}\left(1-x^2\right)>x$ έχει λύσεις τους αριθμούς $x\in [-1,a)$ , όπου

η ρίζα της εξίσωσης $2x^2+\sqrt{x}-1=0$ . !!

pastavr · #3

Συμφωνώ με τον Κώστα για τα επικίνδυνα σημεία
Βέβαια αφου βρούμε το πεδίο ορισμού η μονοτονία της συνάρτησης βγαίνει εύκολα και κατασκευαστικά
Αν ξεκινήσουμε ότι x1<x2 μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε ότι f(x1) < f(x2)
Παύλος

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x) = \sqrt x + x^2$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι και να εξετάσετε αν η αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : $f^{-1}(x^2-1) < x$

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)

Πιo απλά: Πεδίο ορισμού $[0, \infty)$ . Έτσι
α) Η f είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα δύο τέτοιων. Άρα είναι 1-1 και αντιστρέφεται.
β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το $[0, \infty)$
γ) έπεται από την μονοτονία της f (γνωστό).
δ) πρώτον απαιτούμε επιπλέον $x^2-1 \ge 0 \,$ , οπότε $x \ge 1 \,$ . Τώρα, επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την $f(f^{-1}(x^2-1)) < f( x)\,$ ή
$x^2-1 < f( x)= \sqrt x + x^2 \,$ ή $-1 < \sqrt x \,$ που ισχύει για κάθε χ στο πεδίο ορισμού $[1, \infty)$

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Μετά τις ολοκληρωμένες απαντήσεις σας, βάζω ένα συνημμένο αρχείο με τα συμπεράσματα.
α) Το αρχείο είναι προσωρινά σε word, ώστε να το επεξεργαστείτε και να συμπληρώσετε τυχόν παρατηρήσεις, λάθη ή παροράμματα, που παρακαλώ να μου στείλετε εδώ ή με προσωπικό μήνυμα , ώστε να καταχωρίσουμε τελικά ένα ολοκληρωμένο και σωστό αρχείο για τους φίλους του mathematica.

β) Αν κάποιος βρει λίγο χρόνο, ας γράψει και ας στείλει αναλυτική λύση στην εφαρμογή του αρχείου. Οι λύσεις των Κώστα και Μιχάλη είναι μια πολύ καλή βάση για πάτημα.

Ευχαριστώ - Μπάμπης

eirhnh · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το $[0, \infty)$

Μπορουμε για το β) να βρουμε το Π.Ο. της f^-1

και συνεπως αυτο να ειναι το συνολο τιμων της f..

#7

eirhnh έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το $[0, \infty)$
Μπορουμε για το β) να βρουμε το Π.Ο. της και συνεπως αυτο να ειναι το συνολο τιμων της f..

Ανάποδα. Πρώτα βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι αυτόματα (εξ ορισμού) π.ο. της αντίστροφης.

Μ.

eirhnh · #8

Δηλαδη ετσι οπως το ειπα εγω δεν γινεται ή γενικα δεν ξερουμε πως να το βρουμε? (με γνωσεις λυκειου...)

pana1333 · #9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x) = \sqrt x + x^2$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι και να εξετάσετε αν η αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : $f^{-1}(x^2-1) < x$

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)

#10

pana1333 έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x) = \sqrt x + x^2$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι και να εξετάσετε αν η αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : $f^{-1}(x^2-1) < x$

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)

Στο Α. (στο πρώτο συνημμένο αρχείο) η ισοδυναμία σηκώνει κουβέντα, τουλάχιστον, ως προς τον περιορισμό, ας το πω έτσι, "το h(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ".

Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Μέλη σε σύνδεση