Επί της διχοτόμου

KARKAR · #1

: Επί της διχοτόμου.png (139.44 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Δείξτε ότι υπάρχει a>1

, ώστε ένα από τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων :

f(x)=a^2lnx

$\:$ και : $\: g(x)=a(x-1)^2$ , να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : y=x

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 05, 2021 8:22 am
Επί της διχοτόμου.pngΔείξτε ότι υπάρχει , ώστε ένα από τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων :

$\:$ και : $\: g(x)=a(x-1)^2$ , να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : .

Αρχικά λύνω την εξίσωση $\displaystyle g(x) = x$ για x>1, a>1

και βρίσκω $\displaystyle x_0 = \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}}$

Θα δείξω ότι υπάρχει a>1

, ώστε

Πράγματι, η συνάρτηση $\displaystyle h(a) = {a^2}\ln \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}} - \frac{{2a + 1 + \sqrt {4a + 1} }}{{2a}}$

είναι συνεχής στο $\displaystyle \left[ {\frac{3}{2},2} \right]$ με $\displaystyle h\left( {\frac{3}{2}} \right)h(2) < 0$ και το ζητούμενο έπεται. Προσεγγιστικά $a\simeq 1,679.$

Επί της διχοτόμου

Επί της διχοτόμου

Re: Επί της διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση