Γενική ...

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = \ln x$ . Για κάθε x>1

θεωρούμε τα σημεία $\mathrm{A} \left ( x,f(x) \right )$ και $\mathrm{B}\left ( x+1,f(x+1) \right )$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[->] (-3, 0) -- (7, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -3) -- (0, 3) node[left]{y}; \draw[line width=1.6pt, cyan] plot[smooth,domain=0.1:6] (\x, {ln(\x)}); \draw[cyan, line width=1.6pt] (4, 2) node[right]{f}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \draw[red, fill=red] (2, 0.6931) circle(2pt) node[above]{A}; \draw[red, fill=red] (3, 1.0986) circle(2pt) node[above]{B}; \draw[red] (2, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; \draw[red] (3, 0) node[below]{\text{\gr Δ}}; \draw[dashed, fill=cyan!10!] (2, 0.6931) -- (3, 1.0986) -- (3, 0) -- (2, 0) -- cycle; \end{tikzpicture}}$
(α) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{f(x+1) + f(x)}{2} < f \left ( \frac{2x+1}{2} \right )}$ .

(β) Να εκφραστεί το εμβαδόν του τραπεζίου ως συνάρτηση του

και στη συνέχεια να ερμηνευτεί γεωμετρικά η παραπάνω ανίσωση.

(γ) Αν $\mathrm{E}(x)$ η παραπάνω συνάρτηση τότε να δειχθεί ότι $\displaystyle{\mathrm{E}(2) < \mathrm{E}(3) < \ln \frac{7}{2}}$ .

stranger · #2

Η άσκηση είναι πολύ απλή.
Για το α)
Η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την $\log(x(x+1)) < \log((x+\frac{1}{2})^2)$ που ισχύει γιατί η $\log$ είναι γνησίως αύξουσα.
Για το β)
Από το σχήμα βλέπουμε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου $E(x) = (CD)(DF) + \frac{1}{2}(AF)(BF)$ , όπου

η προβολή του

στην

. Άρα τελικά $E(x) = \log x + \frac{1}{2}(\log(x+1)-\log x) = \frac{1}{2}\log x +\frac{1}{2}\log(x+1)$ .
Για το γ)
Αφού η E(x)

είναι γνησίως αύξουσα έχουμε E(2)<E(3)

.
Tώρα $E(3)= \frac{1}{2}\log 3 +\frac{1}{2} \log 4 = \log \sqrt{12}$ .
Όμως, $\frac{7}{2} > \sqrt{12}$ και το συμπέρασμα έπεται από τη μονοτονία της $\log$ .
Τη γεωμετρική ερμηνεία ας τη γράψει κάποιος άλλος.

Γενική ...

Γενική ...

Re: Γενική ...

Μέλη σε σύνδεση