Συνεχής στο α , συνεχής στο R

#1

Έστω $\displaystyle f,g:R\to R$ όπου η $\displaystyle \,\,g$ είναι $\displaystyle \,1-1$ με $\displaystyle g(R)=R\,$ και $\displaystyle f(x+g(y))=f(x)f(g(y))$ για κάθε $\displaystyle x,y\in R$ .
Αν η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle a\in R\,$ ,να δείξετε ότι είναι συνεχής σε όλο το $\displaystyle \,\,R$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:59 pm
Έστω $\displaystyle f,g:R\to R$ όπου η $\displaystyle \,\,g$ είναι $\displaystyle \,1-1$ με $\displaystyle g(R)=R\,$ και $\displaystyle f(x+g(y))=f(x)f(g(y))$ για κάθε $\displaystyle x,y\in R$ .
Αν η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle a\in R\,$ ,να δείξετε ότι είναι συνεχής σε όλο το $\displaystyle \,\,R$ .

Δεν χρειάζεται ότι η

είναι 1-1.

Εστω $t\in \mathbb{R}$

Αφου $\displaystyle g(R)=R\,$ υπάρχει $y\in \mathbb{R}$

ώστε g(y)=t

Αρα

για κάθε $x,t\in R$ .

Εστω $c\in R$ .

Τότε $\lim_{x\rightarrow c+a}f(x)=\lim_{t\rightarrow a}f(c+t)=\lim_{t\rightarrow a}f(c)f(t)=$

$f(c)\lim_{t\rightarrow a}f(t)=f(c)f(a)=f(c+a)$

οπου έγινε αλλαγή μεταβλητής και χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια στο

Αρα για κάθε $c\in R$ η

είναι συνεχής στο c+a

.

Και επειδή κάθε πραγματικός μπορεί να γραφεί στην μορφή c+a

είναι συνεχής παντού.

#3

Να την βελτιώσουμε: Δείξτε ότι είτε για κάθε

είναι

ή υπάρχει σταθερά

τέτοια ώστε για κάθε

είναι $f(x)=e^{cx}$ .

#4

Πριν Ο Σταύρος έδειξε

$\displaystyle{f(x+t)=f(x)f(t)}$ άρα $\displaystyle{f(x)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)\ge 0}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{r:f(r)=0}$ τότε $\displaystyle{f(x)=f(x-r+r)=f(x-r)f(r)=0,\forall x\in R}$

Αν η $\displaystyle{f}$ δεν έχει καμιά ριζα τότε $\displaystyle{f(x)>0,x\in R}$ οπότε θέτω $\displaystyle{g(x)=ln f(x)}$ και έτσι $\displaystyle{g(x+t)=g(x)+g(t),x,t\in R}$ που είναι η συναρτησιακή του Cauchy και έχει μελετηθεί εκτενώς πχ στον Εκθέτη του Ν.Μαυρογιάννη

Αν η f είναι συνεχής στο α τότε είναι συνεχής παντού άρα και η g με $\displaystyle{g(x)=kx}$ άρα $\displaystyle{f(x)=e^{kx}=A^x , A>0,x\in R}$

Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Re: Συνεχής στο α , συνεχής στο R

Μέλη σε σύνδεση