Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

pito · #1

Καλησπέρα

.

Η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύει $(fof)(x)=x^{5}-2x^{3}+6x$ για κάθε

πραγματικό. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

pito έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 24, 2018 6:11 pm
Καλησπέρα .

Η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύει $(fof)(x)=x^{5}-2x^{3}+6x$ για κάθε πραγματικό. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Καλησπέρα Μυρτώ.

Θα δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν μοναδικό κοινό σημείο με τετμημένη x=0

. Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει

να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)}$ στο $\displaystyle{D_f\cap D_{f^{-1}}}.$ Δείχνουμε ότι η αντίστροφη $f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

ή διαφορετικά ότι η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ . Πράγματι, έστω ότι δεν έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

Τότε θα υπάρχει $y\in \mathbb{R}$ τέτοιο, ώστε $\dispalystyle{ \forall x\in D_f=\mathbb{R}:f(x)\neq y\Rightarrow f(f(x))\neq f(y)\Rightarrow x^5-2x^3+6x\neq f(y), }$

όπου η πρώτη συνεπαγωγή προέκυψε από το γεγονός ότι η

ως γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1. Η τελευταία σχέση όμως μας

οδηγεί σε άτοπο γιατί f(y)

είναι κάποιος πραγματικός και μας λέει ουσιαστικά ότι αυτός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της

$\dispalystyle{ x^5-2x^3+6x}$ η οποία όμως εύκολα ελέγχουμε ότι έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$

$\displaystyle{ ({f}'(x)>0,\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^5-2x^3+6x)=+\infty,\lim_{x\rightarrow -\infty }(x^5-2x^3+6x)=-\infty) }$ .

Μπορούμε να λύσουμε τώρα την αρχική εξίσωση στο $\displaystyle{D_f\cap D_{f^{-1}}=\mathbb{R}}$ και έχουμε

$\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(f(x))=f(f^{-1}(x)) \Leftrightarrow x^5-2x^3+6x=x\Leftrightarrow x^5-2x^3+5x=0 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x(x^4-2x^2+5)=0\Leftrightarrow x=0 }$

όπου η πρώτη ισοδυναμία προέκυψε από το γεγονός ότι η

είναι συνάρτηση $(\Rightarrow)$ και 1-1 $(\Leftarrow)$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Θα μπορούσε κάποιος ''πονηρά'' να αποφύγει την εύρεση του συνόλου τιμών της

ως εξής: Παρατηρούμε ότι η εξίσωση

x^5-2x^3+6x=x }

έχει μοναδική λύση στο $\mathbb{R}$ την x=0.

Αυτή θα είναι η μοναδική λύση της

${f(x)=f^{-1}(x)}$ στο $\displaystyle{D_f\cap D_{f^{-1}}}\subseteq \mathbb{R}$ αρκεί $0\in D_f\cap D_{f^{-1}}$ . Όμως $0\in D_f=\mathbb{R}$ και $\displaystyle{ f(f(0))=0 }$

δηλαδή υπάρχει $y\in\mathbb{R}(y=f(0))$ τέτοιο, ώστε f(y)=0

. Άρα $0\in D_{f^{-1}}$ .Τελικά $\displaystyle{0\in D_f\cap D_{f^{-1}}}$ .

#3

pito έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 24, 2018 6:11 pm
Καλησπέρα .

Η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύει $(fof)(x)=x^{5}-2x^{3}+6x$ για κάθε πραγματικό. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

...μια αντιμετώπιση...εντός φακέλλου...

Κατ αρχάς είναι $(fof)(0)=0\Leftrightarrow f(f(0))=0\Rightarrow f(f(f(0)))=f(0)$ και επειδή είναι

$(fof)(f(0)={{f}^{5}}(0)-2{{f}^{3}}(0)+6f(0)$ θα είναι

${{f}^{5}}(0)-2{{f}^{3}}(0)+6f(0)=f(0)\Leftrightarrow {{f}^{5}}(0)-2{{f}^{3}}(0)+5f(0)=0\Leftrightarrow$

$({{f}^{4}}(0)-2{{f}^{2}}(0)+5)f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0$ γιατί ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+5={{({{x}^{2}}-1)}^{2}}+1>0,\,\,x\in R$ έτσι λόγω

$f(0)=0\Leftrightarrow 0={{f}^{-1}}(0)$ άρα οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν ένα κοινό σημείο το $(0,\,0)$

Τώρα αν υπάρχει ${{x}_{0}}\ne 0$ που $f({{x}_{0}})={{f}^{-1}}({{x}_{0}})\Leftrightarrow f(f({{x}_{0}}))={{x}_{0}}$ τότε

$x_{0}^{5}-2x_{0}^{3}+6{{x}_{0}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x_{0}^{5}-2x_{0}^{3}+5{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}(x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+5)=0$

που προκύπτει ότι ${{x}_{0}}=0$ γιατί $x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+5>0$ που είναι άτοπο

άρα οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν ένα μόνο ένα κοινό σημείο το $(0,\,0)$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pito · #4

Σας ευχαριστώ θερμά και τους δύο για την ενασχόληση.

Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

Re: Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

Re: Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

Re: Κοινό σημείο γραφικής και αντιστρόφου

Μέλη σε σύνδεση