Ασυνεχής

Tolaso J Kos · #1

Ας ελπίσω η παρακάτω άσκηση δεν είναι εκτός φακέλου.

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ μία συνάρτηση με $f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \mathbb{Q} \right ) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ και $f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \left (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right ) \right ) \subset \mathbb{Q}$ . Δείξατε ότι η

είναι ασυνεχής.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 17, 2018 10:18 am
Ας ελπίσω η παρακάτω άσκηση δεν είναι εκτός φακέλου.

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ μία συνάρτηση με $f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \mathbb{Q} \right ) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ και $f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \left (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right ) \right ) \subset \mathbb{Q}$ . Δείξατε ότι η είναι ασυνεχής.

Αν ήταν συνεχής θα είχε σταθερό σημείο $x_{0}$ , δηλαδή θα ίσχυε $f(x_{0})=x_{0}.$ Αν $x_{0}$ ρητός τότε $f(x_{0})$ ρητός (άτοπο). Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν $x_{0}$ άρρητος.

dement · #3

Αλλιώς, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του $\mathbb{Q} \cup f(\mathbb{Q})$ , το πολύ αριθμήσιμο. Έτσι, η εικόνα του διαστήματος [0,1]

δεν είναι διάστημα αφού η

δεν είναι σταθερή.

Ασυνεχής

Ασυνεχής

Re: Ασυνεχής

Re: Ασυνεχής

Μέλη σε σύνδεση