Σωστό - Λάθος

Grosrouvre · #1

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Αν η έχει όριο στο $x_0 \in \mathbb{R}$ πραγματικό αριθμό, τότε η είναι συνεχής στο .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Friedoon · #2

Σωστό.
Έστω $\lim_{x \to x_0}f(x)=c$

Έστω συνάρτηση g(x)=f(x)-f(x_0)

Τότε έχουμε $\lim_{x \to x_0}g(x)=c-f(x_0)$

Όμως για κάθε x>x_0

έχουμε λόγω της μονοτονίας της

$f(x)<f(x_0) \Leftrightarrow g(x)<0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{+}}g(x) \le 0$

και για κάθε x<x_0

έχουμε λόγω της μονοτονίας της

$f(x)>f(x_0) \Leftrightarrow g(x)>0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{-}}g(x) \ge 0$

Όμως $\lim_{x \to x_0}g(x)=c-f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{+}}g(x)=\lim_{x \to x_0^{-}}g(x)$

Άρα $\lim_{x \to x_0^{+}}g(x)=\lim_{x \to x_0^{-}}g(x)=0=\lim_{x \to x_0}g(x)$

Άρα $c-f(x_0)=0 \Leftrightarrow c=f(x_0 )$

Τελικά η f είναι συνεχής στο x_0

mikemoke · #3

Grosrouvre έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 16, 2017 1:49 pm
Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Αν η έχει όριο στο $x_0 \in \mathbb{R}$ πραγματικό αριθμό, τότε η είναι συνεχής στο .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Είναι σωστό ότι για κάθε x_0

$\lim_{x \to x_0+}f(x)=l_1$ και
$\lim_{x \to x_0-}f(x)=l_2$ όπου $l_1\geq l_2$ και $f(x_0)\in [l_2,l_1]$

Σωστό - Λάθος

Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Re: Σωστό - Λάθος

Μέλη σε σύνδεση