Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Τροβαδούρος · #1

Έχω κολλήσει από χτες στην παρακάτω άσκηση.

Αν οι συναρτήσεις f,g

από τους πραγματικούς στους πραγματικούς ικανοποιούν τις σχέσεις:

$|f(x)-g(x)| \le x g(x)$ και $\lim_{x\to x_0}g(x)=l\in\rm I\!R$

να προσδιορίσετε την τιμή του $x_0\in\rm I\!R$ για την οποία $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$

Θα προτιμούσα κάποια υπόδειξη αν γίνεται.

sotiriszogos · #2

Λοιπόν έχουμε $|f(x)-g(x)| \leq xg(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \to x_0} |f(x)-g(x)| \leq \lim_{x \to x_0} xg(x)$
$\Rightarrow -x_0l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) -l \leq x_0l$
$\Rightarrow -x_0l +l\leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq x_0l +l$
$\Rightarrow (1-x_0)l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq (1+x_0)l$
και άρα πρέπει (1-x_0)l=l

και

οπότε προκύπτει x_0=0

.

Τροβαδούρος · #3

sotiriszogos έγραψε:Λοιπόν έχουμε $|f(x)-g(x)| \leq xg(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \to x_0} |f(x)-g(x)| \leq \lim_{x \to x_0} xg(x)$
$\Rightarrow -x_0l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) -l \leq x_0l$
$\Rightarrow -x_0l +l\leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq x_0l +l$
$\Rightarrow (1-x_0)l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq (1+x_0)l$
και άρα πρέπει
και
οπότε προκύπτει .

Ευχαριστώ!

#4

sotiriszogos έγραψε: $\Rightarrow (1-x_0)l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq (1+x_0)l$
και άρα πρέπει
και

Προσοχή, υπάρχει ένα σοβαρό σφάλμα λογικής εδώ: Συγχέει την ικανή με την αναγκαία συνθήκη.

Στο παραπάνω αρκεί το (1-x_0)l=l

και

ενώ ο λύτης γράφει πρέπει.

Δεν είναι της ώρας να εξηγήσω την διαφορά, απλά τονίζω ότι δεν πρέπει ο Μαθηματικός να συγχέει τα δύο.

Ίσως το εξής δείχνει γιατί το "πρέπει" έχει πρόβλημα: Παίρνουμε οποιαδήποτε

με $g(x) \ge 0$ αν $x\ge 0$ και g(x) <0

αλλιώς. Επίσης παίρνουμε $f(x)=g(x) , \, \forall x \in \mathbb$ . Τότε ισχύουν όλες οι υποθέσεις και το συμπέρασμα της άσκησης αλλά δεν έπεται ότι x_o=0

. Συγκέκριμένα, στο παράδειγμα αυτό όλα τα x_o

κάνουν κάνουν την δουλειά, όχι μόνο το x_o=0

.

sotiriszogos · #5

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Μιχάλη για την υπόδειξη. Λόγω του περασμένου της ώρας, της κεκτημένης ταχύτητας και του ότι πληκτρολόγησα την απάντηση απ το κινητό μου, μου ξεφυγε αυτή η μικρή αλλά πολύ σημαντική λεπτομέρεια. Επίσης είχα γράψει ακόμη μια σειρά η οποία έλεγε $θεωρώ l \neq 0$ την οποία το κινητό μου έσβησε για κάποιον περίεργο λόγο. Αν l=0

τότε ισχύει για κάθε x_0

.

Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Re: Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Re: Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Re: Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Re: Άσκηση στα όρια από Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μέλη σε σύνδεση