μονοτονία αντίστροφης

dopfev · #1

Καλησπέρα,
έδειξα σε έναν μαθητή τη σκέψη πως αποδεικνύεις ότι η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την

, οπότε αν

γνησίως αύξουσα τότε για $y_{1},y_{2}\in f(A)$ :

$y_{1}<y_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\Rightarrow f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})$ άρα και η αντίστροφη γνησίως αύξουσα.
Αυτός μου αντιπρότεινε, έστω:

$f^{-1}(x_{1})<f^{-1}(x_{2})\Rightarrow f(f^{-1}(x_{1}))<f(f^{-1}(x_{2}))\Rightarrow x_{1}<x_{2}$ . Είναι λάθος η σκέψη του ή στέκει; Μπορώ από τις τυχαίες τιμές της συνάρτησης να καταλήξω στην ανισότητα των σημείων και να ισχυριστώ ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα; Ευχαριστώ...

ArgirisM · #2

Θα τοποθετηθώ αναφορικά με το θέμα παρότι δεν είμαι καθηγητής, απλώς δεν ξέρω μήπως η σκέψη μου είναι σε λάθος κατεύθυνση. Η προσέγγιση του μαθητή είναι λάθος στα πλαίσια του βιβλίου. Τυπικά ο ορισμός της μονοτονίας δίνεται με συνεπαγωγή και όχι με ισοδυναμία. Αν ο ορισμός δινόταν διαφορετικά, καθώς το τελικό συμπέρασμα δεν είναι λάθος, δεν θα υπήρχε πρόβλημα. Αλήθεια άλλα βιβλία πώς διατυπώνουν τον ορισμό;

#3

Και οι δύο αποδείξεις είναι προβληματικές.

dopfev έγραψε: $y_{1}<y_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\Rightarrow f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})$ άρα και η αντίστροφη γνησίως αύξουσα.

Στο τρίτο $\Rightarrow$ δεν αποδείχθηκε το βήμα. Ίσα-ίσα είναι ισοδύναμο με το αποδεικτέο γιατί για να πάμε από μία ανισότητα της μορφής f(z_1) < f(z_2)

στην

(εδώ $z_1= f^{-1}(y_1) , \, z_2= f^{-1}(y_2)$ ) , είναι σαν να θεωρούμε ότι η $f^{-1}$ είναι γνήσια αύξουσα οπότε ισχύει

$f(z_1) < f(z_2)\Rightarrow f^{-1} (f(z_1)) < f^{-1}(f(z_2)) \Rightarrow z_1<z_2$

Δηλαδή η απόδειξη έχει ουσιαστικό κενό γιατί χρησιμοποιεί το αποδεικτέο.

Για την δεύτερη απόδειξη

dopfev έγραψε: $f^{-1}(x_{1})<f^{-1}(x_{2})\Rightarrow f(f^{-1}(x_{1}))<f(f^{-1}(x_{2}))\Rightarrow x_{1}<x_{2}$ .

το κενό είναι πιο σοβαρό: Η απόδειξη της μονοτονίας μιάς

απαιτεί να υποθέσουμε z_1 < z_2

και από αυτό τα δείξουμε g(z_1) <g( z_2)

.
Η εν λόγω απόδειξη, όπου η

είναι η $f^{-1}$ , ούτε καν ξεκινά από την υπόθεση z_1 < z_2

. Οπότε η απόδειξη δεν λέει απολύτως τίποτα. Δεν είναι σωστή ούτε σε σύλληψη.

Για χάρη της πληρότητας, ας βάλω μία απόδειξη της ζητούμενης ιδιότητας παρόλο που είναι πολλή γνωστή:

Έστω y_1<y_2

. Θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$ . Αν δεν ίσχυε αυτό τότε από την αρχή της τριχοτομίας της διάταξης θα ίσχυε $f^{-1}(y_1)\ge f^{-1}(y_2)$ . Αλλά τότε, από το γεγονός ότι η

είναι γνήσια αύξουσα, θα είχαμε $f(f^{-1}(y_1))\ge f( f^{-1}(y_2))$ , δηλαδή
$y_1\ge y_2$ . Αλλά αυτό αντιβαίνει στην υπόθεση y_1<y_2

, και λοιπά.

AlexandrosG · #4

Κύριε Μιχάλη διαφωνώ για το πόσο λάθος είναι η απόδειξη του μαθητή. Είναι ελλειπής αλλά γίνεται άμεσα σωστή αν προσθέσουμε το εξής λογικό βήμα. ''...Άρα αν $x_1 \geq x_2$ τότε $f^{-1}(x_1) \geq f^{-1}(x_2)$ το οποίο σημαίνει ότι η $f^{-1}$ είναι αύξουσα. '' Δηλαδή ο μαθητής απλά απέδειξε το αντιθετοαντίστροφο, αν και δεν το είπε. Και η λύση του είναι ίδια με τη δική σας. (Αν υπάρχει πρόβλημα με το γνήσιο της μονοτονίας απλά αλλάζουμε τις ανισότητες σε ανισοισότητες και αντίστροφα).

#5

Πραγματικά δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις.

AlexandrosG έγραψε:<...> Είναι ελλειπής αλλά γίνεται άμεσα σωστή αν προσθέσουμε το εξής λογικό βήμα.

Μα η απόδειξη είναι ουσιαστικά μόνο ένα βήμα έτσι και αλλιώς. Αν λείπει το ένα και μοναδικό βήμα της απόδειξης, από που βγάζουμε το συμπέρασμα ότι το γνωρίζει;

AlexandrosG έγραψε:<...> Δηλαδή ο μαθητής απλά απέδειξε το αντιθετοαντίστροφο, αν και δεν το είπε.

Δεν είναι σωστό αυτό. Η αντιθετοαντιστροφή θα απαιτούσε τις ανισότητες στην μορφή $\ge$ . Ο μαθητής έχει μόνο

. Από που βγάζουμε το συμπέρασμα ότι έχει αντιθετοαντιστροφή στον νου του;

dopfev · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Στο τρίτο $\Rightarrow$ δεν αποδείχθηκε το βήμα. Ίσα-ίσα είναι ισοδύναμο με το αποδεικτέο γιατί για να πάμε από μία ανισότητα της μορφής στην (εδώ $z_1= f^{-1}(y_1) , \, z_2= f^{-1}(y_2)$ ) , είναι σαν να θεωρούμε ότι η $f^{-1}$ είναι γνήσια αύξουσα οπότε ισχύει

$f(z_1) < f(z_2)\Rightarrow f^{-1} (f(z_1)) < f^{-1}(f(z_2)) \Rightarrow z_1<z_2$

Δηλαδή η απόδειξη έχει ουσιαστικό κενό γιατί χρησιμοποιεί το αποδεικτέο.

κ.Λάμπρου πρώτα απ' όλα ευχαριστώ πολύ για την ανταπόκριση και την απάντηση...ευκαιρία με τα λεγόμενά σας να λύσω και δικές μου απορίες...

1) Στην πρόταση που έγραψα: $f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})$ χρησιμοποιώ και την μονοτονία της $f^{-1}$ ; Είναι δηλαδή ισοδύναμο σαν να συνθέτω με την αντίστροφη, όπως γράψατε εσείς; Είχα στο μυαλό μου ότι μ' αυτόν τον τρόπο χρησιμοποιώ μόνο την μονοτονία της

. Ότι δηλαδή ισχύει η συνεπαγωγή: $f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}$ , άσχετα αν τα $z_{1},z_{2}$ είναι τιμές της αντίστροφης...

2) Τελικά σε μία συνάρτηση που γνωρίζω τον τύπο είναι λάθος να ξεκινήσω από την υπόθεση $f(x_{1})<f(x_{2})$ και να καταλήξω σε $x_{1}<x_{2}$ ή $x_{1}>x_{2}$ ; Ένα παράδειγμα:

Έστω f(x)=ln(x+1) - 1

. Να μελετήσετε την μονοτονία της.
Το πεδίο ορισμού είναι $D_{f}=(-1,+\propto )$ .Για $\displaystyle{f(x_{1})<f(x_{2})\Rightarrow ln(x_{1}+1)-1<ln(x_{2}+1)-1\Rightarrow ln(x_{1}+1)<ln(x_{2}+1)\Rightarrow x_{1}+1<x_{2}+1\Rightarrow x_{1}<x_{2}}$ . Είναι τελείως λάθος αυτή η αντιμετώπιση; Ευχαριστώ πολύ!

ArgirisM · #7

Θα προσπαθήσω να εξηγήσω λίγο καλύτερα τη σκέψη μου. Όπως η μονοτονία ορίζεται στο βιβλίο, ένας μαθητής, προκειμένου να δείξει τη μονοτονία μίας συνάρτησης πρέπει να θεωρήσει μία σχέση διάταξης ανάμεσα σε δύο τυχαία σημεία του πεδίου ορισμού της και να εξετάσει μετά ποια είναι η σχέση διάταξης ανάμεσα στις δύο τιμές της συνάρτησης που αντιστοιχούν σε αυτά. Ωστόσο, υπάρχουν κάποιες ασκήσεις που λύνονται ευκολότερα λειτουργώντας ανάποδα, γεγονός που κάνει τους μαθητές να ορίζουν μία σχέση διάταξης για δύο τυχαία στοιχεία του συνόλου τιμών και να εξετάζουν ποια σχέση διάταξης υπάρχει ανάμεσα στα στοιχεία του πεδίου ορισμού της που αντιστοιχούν σε αυτά. Όταν ο μαθητής λειτουργεί με αυτόν τον τρόπο ουσιαστικά αποδεικνύει τη μονοτονία της αντίστροφής της

. Θα κάνω ένα παράδειγμα για να γίνουν τα παραπάνω σαφέστερα.
Έστω συνάρτηση $f: R \rightarrow R, f^3(x) + f(x) + 1 = x, \forall x \in R.$ Να δείξετε πως η

είναι γνησίως αύξουσα.
Αν λειτουργήσουμε όπως ο μαθητής τότε λέμε πως έστω $f(x_2) > f(x_1), x_1, x_2 \in R$ . Είναι $f^3(x_2) + f(x_2) + 1 > f^3(x_1) + f(x_1) + 1 \Longleftrightarrow x_2 > x_1$
Ας δούμε λίγο τα επιμέρους βήματα της απόδειξης. Θεωρούμε τα στοιχεία $f(x_1), f(x_2) \in f(R) = D_{f^{- 1}}$ καθώς και τη σχέση διάταξης ανάμεσα τους. Έπειτα, εκμεταλλευόμενοι τη δοθείσα δείχνουμε πως ισχύει x_1 < x_2

όπου $x_1, x_2 \in D_f = f^{- 1}(f(R))$ .
Με την παραπάνω μέθοδο ουσιαστικά αποδεικνύουμε πως η συνάρτησή μας είναι αντιστρέψιμη και ταυτόχρονα βρίσκουμε και τη μονοτονία της αντίστροφής της. Για να είναι τώρα η απόδειξη πλήρης πρέπει να επικαλεστούμε το θεώρημα το οποίο λέει πως η

και η $f^{- 1}$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας προκειμένου να δείξουμε πως

γν. αύξουσα. Το συγκεκριμένο θεώρημα όμως πουθενά δεν αναφέρεται στο βιβλίο.
Συνοψίζοντας λοιπόν θέλω να πω πως αυτό που κάνει ο μαθητής δεν είναι εν γένει λανθασμένο, απλώς επειδή το βιβλίο στον ορισμό της μονοτονίας βάζει συνεπαγωγή και όχι ισοδυναμία, ο μαθητής, αν θέλει να κινηθεί με τον παραπάνω τρόπο όχι μόνο στην απόδειξη της μονοτονίας της αντίστροφης αλλά και σε ένα πρόβλημα σαν αυτό που παρουσίασα παραπάνω, θα πρέπει ουσιαστικά να στηριχτεί σε ένα θεώρημα που δεν είναι στο βιβλίο για να τεκμηριώσει τη σκέψη του, ανοίγοντας έτσι τους ασκούς του Αιόλου διότι υπάρχουν κάποιες λεπτομέρειες που θέλουν προσοχή. Για το λόγο αυτό καλύτερα κανείς πάντα να λειτουργεί με τη μέθοδο του σχολικού βιβλίου στο συγκεκριμένο θέμα παρά να πειραματίζεται. Όσον αφορά στη δική σας προσέγγιση, εκ πρώτης όψεως δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα.

AlexandrosG · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:Πραγματικά δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις.

AlexandrosG έγραψε:<...> Είναι ελλειπής αλλά γίνεται άμεσα σωστή αν προσθέσουμε το εξής λογικό βήμα.
Μα η απόδειξη είναι ουσιαστικά μόνο ένα βήμα έτσι και αλλιώς. Αν λείπει το ένα και μοναδικό βήμα της απόδειξης, από που βγάζουμε το συμπέρασμα ότι το γνωρίζει;

AlexandrosG έγραψε:<...> Δηλαδή ο μαθητής απλά απέδειξε το αντιθετοαντίστροφο, αν και δεν το είπε.
Δεν είναι σωστό αυτό. Η αντιθετοαντιστροφή θα απαιτούσε τις ανισότητες στην μορφή $\ge$ . Ο μαθητής έχει μόνο . Από που βγάζουμε το συμπέρασμα ότι έχει αντιθετοαντιστροφή στον νου του;

Δεν ήθελα να πω ότι μαθητής έχει στο νου την αντιθετοαντιστροφή αλλά το ότι η απόδειξη του, έστω και αν δεν το γνωρίζει στα σίγουρα, δεν είναι μακριά από το να γίνει σωστή. Τα $\geq$ και

δεν είναι πρόβλημα.

Για να γίνω κατανοητός θέλω να πω ότι μπορούμε να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα ξεκινώντας ανάποδα. Αυτό που κάνατε και εσείς με την τριχοτομία δηλαδή. Σε κάθε περίπτωση η λύση του μαθητή δεν ήταν ολοκληρωμένη.

dopfev · #9

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις, αλλά τελικά η πρόταση $\displaystyle{f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})}$ έχει πρόβλημα ή όχι; Χρησιμοποιώ δηλαδή χωρίς να το καταλαβαίνω και την μονοτονία της $f^{-1}$ (το οποίο θέλω και να αποδείξω) και αν ναι σε ποιο σημείο..; Συγνώμη αν γίνομαι κουραστικός αλλά θα ήθελα να το ξεκαθαρίσω στο μυαλό μου...

#10

Στο βήμα

dopfev έγραψε: $\displaystyle{f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})}$

χρησιμοποείς την ιδιότητα $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ την οποία δεν απέδειξες. Ένας τρόπος να το δείξεις είναι με αντιθετοαντιστροφή. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσεις ως γνωστή την μονοτονία της $f^{-1}$ . Πάντως κενό στον συλλογισμό, υπάρχει.

dopfev · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Στο βήμα

dopfev έγραψε: $\displaystyle{f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})}$
χρησιμοποείς την ιδιότητα $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ την οποία δεν απέδειξες. Ένας τρόπος να το δείξεις είναι με αντιθετοαντιστροφή. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσεις ως γνωστή την μονοτονία της $f^{-1}$ . Πάντως κενό στον συλλογισμό, υπάρχει.

κ. Λάμπρου ευχαριστώ για την άμεση απάντηση, αφού όμως η

είναι γνησίως αύξουσα σαν δεδομένο δεν ισχύει $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ ;

#12

dopfev έγραψε: $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ ;

Θέλει απόδειξη αφού ο ορισμός είναι $\displaystyle{z_{1}<z_{2}\Rightarrow f(z_{1})<f(z_{2})}$ . Βλέπε π.χ. Νεγρεπόντης κλπ, Απειροστικός Λογισμός, τ. 1., σ. 132.

Το $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ είναι ιδιότητα. Είναι μεν απλή, δεν λέω, αλλά θέλει απόδειξη ιδίως αν ο αποδέκτης είναι μαθητής που το πρωτοβλέπει.

Αν πάλι πάρεις ως ορισμό της γνήσια αύξουσας το $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Leftrightarrow z_{1}<z_{2}}$ , τότε από την απόδειξή σου λείπουν όλα τα " $\displaystyle {\Leftarrow$ "

Ελπίζω να βοήθησα.

Μ.

kostasgial · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε:Στο βήμα

dopfev έγραψε: $\displaystyle{f(f^{-1}(y_{1}))<f(f^{-1}(y_{2}))\Rightarrow f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})}$
χρησιμοποείς την ιδιότητα $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Rightarrow z_{1}<z_{2}}$ την οποία δεν απέδειξες. Ένας τρόπος να το δείξεις είναι με αντιθετοαντιστροφή. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσεις ως γνωστή την μονοτονία της $f^{-1}$ . Πάντως κενό στον συλλογισμό, υπάρχει.

Καλησπέρα σας. Επειδή είμαι μαθητής Γ λυκείου και αυτή η αποδειξουλα ενδεχόμενος να μου φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη θέλω να ξεκαθαρίσω κάποια πράγματα. Η απορία μου είναι η εξής : δεν οδηγηθήκαμε στην Τρίτη συνεπαγωγή "πετώντας" τα f χωρίς να αλλάξει η φορά, διότι η f ξέρουμε ότι είναι γνήσιως αύξουσα; Τι παραπάνω πρέπει να δείξουμε;

Σας ευχαριστω εκ των προτέρων, Κωνσταντίνος.

#14

Mihalis_Lambrou έγραψε:............................

............. $\displaystyle{f(z_{1})<f(z_{2})\Leftrightarrow z_{1}<z_{2}}$ .

.................

Μ.

Από φέτος, μετά από πολύχρονες συζητήσεις στο mathematica και συντονισμένες προσπάθειες που κάναμε το καλοκαίρι προς το ΙΕΠ με τον

Σχ.Σύμβουλο Γιάννη Καραγιάννη ,

αυτό είναι πια θεωρία και δίνεται στις οδηγίες της διαχείρισης της ύλης 2016-2017 !Το μόνο ίσως που καταφέραμε μετά από τόσα χρόνια !!!

Καλή βδομάδα

kostasgial · #15

Δηλαδή δε χρειάζεται απόδειξη; (Σας ευχαριστω πολύ για την απάντηση σας)

#16

kostasgial έγραψε:Δηλαδή δε χρειάζεται απόδειξη; (Σας ευχαριστω πολύ για την απάντηση σας)

OXI !

Καμία πια απόδειξη ! Στον πίνακα μπορούν οι συνάδελφοι να κάνουν την απόδειξη, αλλά για τις εξετάσεις δεν χρειάζεται πια καμία άλλη αναφορά.

Όπως θα είχατε διαβάσει εδώ ή στο Εργαστήρι, δεν θυμάμαι, είχα συντάξει με τον κο Καραγιάννη μια ολοκληρωμένη και αιτιολογημένη εισήγηση και

προωθήθηκε επίσημα προς το ΙΕΠ .

Είχαμε βέβαια κάνει και άλλες προτάσεις, αλλά πέρασαν αυτή, η ολοκλήρωση ανισότητας και το κριτήριο σύγκρισης για άπειρα όρια(αυτό με την διάταξη κλπ).

Κάτι είναι και αυτό ! Αξίζει όμως να ρίξετε μια ματιά σε όλη τη διαχείρηση της ύλης .

Μπάμπης

kostasgial · #17

Σας ευχαριστω πολύ. Να είστε καλά

revan085 · #18

Επιτρέψτε μου να κάνω τον συνήγορο του διαβόλου.

Οι ορισμοί της γνησίως αύξουσας και της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης του σχολικού βιβλίου αναφέρονται μόνο σε διάστημα Δ.

Συνεπώς ακόμα κι αν αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, ή πιο απλά γνησίως αύξουσα αν το διάστημα Δ είναι το ευρύτερο πεδίο ορισμού της f, οφείλουμε να εξασφαλίσουμε ότι το f(Δ) είναι επίσης διάστημα, ώστε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του βιβλίου για την μονοτονία της αντίστροφης της f. Το f(Δ) δεν είναι υποχρεωτικά διάστημα, όπως δείχνει και το επόμενο παράδειγμα συνάρτησης ορισμένης και γνησίως αύξουσας σε όλο το $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $(-\infty ,0)\cup [1,+\infty )$ :

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x & x<0\\ x+1& x\geq 0 \end{matrix}\right.$

Προφανώς η f αντιστρέφεται στο $\mathbb{R}$ και το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ είναι το $(-\infty ,0)\cup [1,+\infty )$ στο οποίο είναι γνησίως αύξουσα, σύμφωνα με τον κανονικό ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης που αναφέρεται σε τυχόν $\varnothing \neq A\subseteq \mathbb{R}$ , το οποίο δεν είναι υποχρεωτικά διάστημα.

Κατ' ουσίαν είναι άσκοπο, για να μην πω εσφαλμένο, να ζητάμε από μαθητές να αποδείξουν ότι "Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε και η αντίστροφη της f είναι γνησίως αύξουσα" , την στιγμή που οι ορισμοί του σχολικού βιβλίου στενεύουν τα περιθώρια μίας τέτοιας ευελιξίας.

Για να γίνει σωστή (δηλαδή επιλύσιμη με την θεωρία του σχολικού βιβλίου) η παραπάνω άσκηση πρέπει να υποτεθεί ότι και το f(Δ) είναι διάστημα ή να υποτεθεί ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ. Με την υπόθεση της συνέχειας υπάρχει ο κίνδυνος να δημιουργηθεί στους μαθητές η εσφαλμένη εντύπωση ότι οι έννοιες: "διάστημα", "μονοτονία" , "συνέχεια" και "αντίστροφη" δεν μπορούν να αποκοπούν πράγμα που φυσικά δεν ισχύει. Μικρό το κακό, αν καθίσουμε να σκεφτούμε ότι ο αντικειμενικός σκοπός του συγκεκριμένου μαθήματος είναι να μάθουν να εφαρμόζουν τους ορισμούς και τα θεωρήματα της διδακτέας ύλης τους.

Κάποια στιγμή πρέπει να γίνει μία σοβαρή συζήτηση για το περιεχόμενο όλων των σχολικών βιβλίων μαθηματικών και τις αλλαγές που επιβάλλεται να γίνουν σε αυτά.

μονοτονία αντίστροφης

μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Re: μονοτονία αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση