Τριγωνομετρικό όριο

#1

Να υπολογίσετε το

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$

raf616 · #2

exdx έγραψε:Να υπολογίσετε το

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια:

Είναι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (\cos x)^{11/6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (\cos x)^{11/3}}{x^2(1 + (\cos x)^{11/6})} = }$

$\displaystyle{= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(\cos x)^{11}}{x^2(1 + (\cos x)^{11/3})(1 + (\cos x)^{11/3} + (\cos x)^{22/3})} = }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \dfrac{(1- \cos x)(1 + \cos x + (\cos x)^2 + \cdots + (\cos x)^{10})}{{x^2(1 + (\cos x)^{11/3})(1 + (\cos x)^{11/3} + (\cos x)^{22/3})}} = \dfrac{11}{12}}$ , αφού $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2x}{x^2(1 + \cos x)} = \dfrac{1}{2}}$ .

vasisot · #3

exdx έγραψε:Να υπολογίσετε το

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του L'Hôpital θα έχουμε:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{(1 - \cos ^{\frac{11}{6}} x)^{\prime}}{(x^2)^{\prime}} = {\lim_{x \to 0} \dfrac{ \frac{11}{6} \cos^{\frac{5}{6}}x \sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac {11}{12}\cdot \dfrac {\sin x}{x} \cdot \cos^{\frac{5}{6}}x \right ) =\dfrac{11}{12}.}$

sotiriszogos · #4

Το αρχικό όριο μπορεί να γραφτεί και έτσι : $\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt[6]{(cosx)^\frac{11}{6}}}{x^2}$ και επειδή το όριο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ τότε εφαρμόζεται ο κανόνας του De L' Hospital και το αρχικό όριο είναι ίσο με : $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{11}{6}\sqrt[6]{(cosx)^5}sinx}{2x}$ το οποίο πάλι είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ και εφαρμόζοντας πάλι τον κανόνα του De L' Hospital προκύπτει οτι είναι ίσο με το : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{11}{6} \sqrt[6]{(cosx)^11}-\frac{55(sinx)^2}{36 \sqrt[6]{cosx}}}{2}=\frac{11}{12}$

Ratio · #5

με απευθείας αντικατάσταση του $sin^{2}x=1-cos^{2}x\Leftrightarrow (1-cosx)(1+cosx)=sin^{2}x\Leftrightarrow 1-cosx=\frac{sin^{2}x}{1+cosx}$
η παράσταση μετασχηματίζεται σε

$\frac{sin^{2}x\cdot \sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{x^{2}\cdot(1+cosx)}=\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\cdot \frac{\sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{1+cosx}=(\frac{sinx}{x})^{2}\cdot \frac{\sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{1+cosx}$

οπότε
$\displaystyle\lim_{x\to0}(\frac{sinx}{x})^{2}\cdot \frac{\sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{1+cosx}=\frac{1}{2}$

#6

Ratio έγραψε: $1-cosx=\frac{sin^{2}x}{1+cosx}$
η παράσταση μετασχηματίζεται σε

$\frac{sin^{2}x\cdot \sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{x^{2}\cdot(1+cosx)}$

Για ξαναδές το αυτό. Είναι σαν να λες ότι $\displaystyle{ \frac {1-ab}{c} = \frac {(1-a)b}{c}}$ .

Βάλε π.χ. $a=1, \, b=2,\, c=1$ και στα δύο μέλη για να ελέγξεις την ορθότητά του.

#7

Το όριο γράφεται

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}(\frac{\sin^2 x}{x^2} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{\sin^2 x}}})}$

Θέτουμε $u=\sqrt[6] {\cos x}$ οπότε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{\sin^2 x}}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 1}\frac{1 - u^{11}}{{1-u^{12}}}}$

Το τελευταίο εύκολα υπολογίζεται $\dfrac{11}{12}.$

Ratio · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ratio έγραψε: $1-cosx=\frac{sin^{2}x}{1+cosx}$
η παράσταση μετασχηματίζεται σε

$\frac{sin^{2}x\cdot \sqrt{cosx}\cdot \sqrt[3]{cosx}}{x^{2}\cdot(1+cosx)}$
Για ξαναδές το αυτό. Είναι σαν να λες ότι $\displaystyle{ \frac {1-ab}{c} = \frac {(1-a)b}{c}}$ .

Βάλε π.χ. $a=1, \, b=2,\, c=1$ και στα δύο μέλη για να ελέγξεις την ορθότητά του.

'Εχετε δίκιο και οι δύο. Πήρα την παρένθεση ως δεδομένη (απροσεξία ) και μάλιστα έδωσα λύση γιατι όταν είδα τις προηγούμενες αναρωτήθηκα γιατί φτάσαμε μέχρι de l' Hospital αφού είναι ένα κλασικο όριο
Σας ευχαριστώ

Τριγωνομετρικό όριο

Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση