Συνδυαστικό θέμα 2

gradion · #1

Πάλι απο το νέο βιβλίο βοήθημα της Γ'

Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g, f:R\rightarrow R, f : "1-1"$

και ισχύει : f(e^x)+f(8x-8)=2f(g(x)),

και η

είναι διάφορη του μηδενός .

Α) Να βρεθεί το πρόσημο της

b)Να βρεθεί η μονοτονία της

γ)Αν είναι παραγωγίσιμες με παραγώγους διάφορες του μηδενός και

συνεχής ,να βρείτε το πρόσημο της g'

δ)Αν ισχύει g(x_o)+g(3x_o)=4x_o,x_o>0

,να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\cfrac{g(x)-g(x_o)}{x-3x_o}-\cfrac{g(x)-g(3x_o)}{x_o}=0$ , να έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (x_o,3x_o)

chris97 · #2

για το B) ερώτημα:
Η συνάρτηση

είναι συνεχής και 1-1 επομένως είναι γνησίως μονότονη.
Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα τότε:
$x_1<x_2 \Longrightarrow e^{x_1}<e^{x_2}\Longrightarrow f( e^{x_1})<f(e^{x_2}) (1)$
$x_1<x_2 \Longrightarrow 8x_1-8<8x_2-8 \Longrightarrow f(8x_1-8)<f(8x_2-8) (2)$
προσθέτω (1)+(2)

κατά μέλη και έχω:
$2f(g(x_1))<2f(g(x_2)\Longrightarrow g(x_1)<g(x_2)$ .
Έστω ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα τότε:
$x_1<x_2 \Longrightarrow e^{x_1}<e^{x_2}\Longrightarrow f( e^{x_1})>f(e^{x_2}) (1)$
$x_1<x_2 \Longrightarrow 8x_1-8<8x_2-8 \Longrightarrow f(8x_1-8)>f(8x_2-8) (2)$
προσθέτω (1)+(2)

κατά μέλη και έχω:
$2f(g(x_1))>2f(g(x_2)\Longrightarrow g(x_1)<g(x_2)$ .Επομένως σε κάθε περίπτωση
η

είναι γνησίως αύξουσα

gradion · #3

Eπαναφορά

#4

gradion έγραψε:Πάλι απο το νέο βιβλίο βοήθημα της Γ'

Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g, f:R\rightarrow R, f : "1-1"$

και ισχύει : και η είναι διάφορη του μηδενός .

Α) Να βρεθεί το πρόσημο της

b)Να βρεθεί η μονοτονία της

γ)Αν είναι παραγωγίσιμες με παραγώγους διάφορες του μηδενός και συνεχής ,να βρείτε το πρόσημο της g'

δ)Αν ισχύει ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\cfrac{g(x)-g(x_o)}{x-3x_o}-\cfrac{g(x)-g(3x_o)}{x_o}=0$ , να έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

...δίνοντας απάντηση και στα υπόλοιπα...

Α) Αφού η

είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

.

Επίσης στην δοθείσα σχέση με όπου

το

έχουμε ότι $f(e)+f(0)=2f(g(1))\Leftrightarrow f(g(1))=\frac{f(e)+f(0)}{2}$ (1) επειδή τώρα

$f:\text{ }\!\!'\!\!\text{ }1-1'$ θα είναι $f(0)\ne f(e)$ οπότε ο αριθμός $\frac{f(0)+f(e)}{2}$ θα είναι στο διάστημα που θα ορίζουν οι

$f(0),\,\,f(e)$ έτσι σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,e)$ ώστε $f({{x}_{0}})=\frac{f(0)+f(e)}{2}$ άρα από (1) θα ισχύει ότι

$f(g(1))=f({{x}_{0}})\overset{f:\,'1-1'}{\mathop{\Rightarrow }}\,g(1)={{x}_{0}}>0$ επομένως $g(x)>0,\,\,\,x\in R$

Β) …θέλω να σημειώσω για την χρησιμοποίηση στην απόδειξη του Χρήστου Κ. της πρότασης …αν

συνεχής και '1-1'

τότε

γνήσια μονότονη πρέπει να γίνεται απόδειξη της πριν χρησιμοποιηθεί… με συντομότερη δείχνοντας ότι

...για κάθε $\alpha <\beta <\gamma$ θα ισχύουν μόνο $f(\alpha )<f(\beta )<f(\gamma )$ ή $f(\alpha )>f(\beta )>f(\gamma )$

Γ) Αφού η {g}'

είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

και επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα (από Β)

είναι ${g}'(x)\ge 0,\,\,\,x\in R$ και λόγω του διάφορη του μηδενός είναι ${g}'(x)>0,\,\,\,x\in R$

Δ) Θεωρώντας την συνάρτηση $h(x)={{x}_{0}}(g(x)-g({{x}_{0}}))-(x-3{{x}_{0}})(g(x)-g(3{{x}_{0}}),\,\,\,x\in [{{x}_{0}},\,\,3{{x}_{0}}]$

που είναι συνεχής και ισχύουν $h({{x}_{0}})=2{{x}_{0}}(g({{x}_{0}})-g(3{{x}_{0}}))<0$ γιατί ${{x}_{0}}<3{{x}_{0}}$ και

είναι γνήσια αύξουσα
και $h(3{{x}_{0}})={{x}_{0}}(g(3{{x}_{0}})-g({{x}_{0}}))>0$ για τον ίδιο λόγο όπως πριν, οπότε επειδή $h({{x}_{0}})h(3{{x}_{0}})<0$

σύμφωνα με το Θ.Β. η $h(x)={{x}_{0}}(g(x)-g({{x}_{0}}))-(x-3{{x}_{0}})(g(x)-g(3{{x}_{0}})$ έχει ρίζα στο $({{x}_{0}},\,\,3{{x}_{0}})$

άρα ισοδύναμα και η ζητουμένη….

(…δεν χρησιμοποίησα την ισότητα τα υπόθεσης…

)

Φιλικά και Μαθματικά
Βασίλης

Συνδυαστικό θέμα 2

Συνδυαστικό θέμα 2

Re: Συνδυαστικό θέμα 2

Re: Συνδυαστικό θέμα 2

Re: Συνδυαστικό θέμα 2

Μέλη σε σύνδεση