Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα σε όλους τους φίλους.

Ας δούμε και το δεύτερο διαγώνισμα στη συνέχεια σε κλειστό διάστημα που δόθηκε στην ομάδα αυτή των 8 μαθητών.

Στο διαγώνισμα αυτό έχω βάλει ερωτήματα περισσότερο "τεχνικά" αλλά και πολύ διεισδυτικότερα και τα παιδιά αιφνιδιάστηκαν με το 4i που ήταν και το μόνο ερώτημα παντελώς άγνωστο σε αυτούς.
Ομολογώ ότι δόθηκε μια κάποια αρχική βοήθεια.

Σχόλιο
Έχουμε πει ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς συνάρτησης είναι επίσης συνεχής συνάρτηση, αλλά στο ερώτημα 2iv μου αρκούσε ότι το 2009 ανήκει στο σύνολο τιμών της αντίστροφης και επειδή είναι 1-1 είναι μοναδικό.

Να είστε όλοι καλά
Θωμάς

Christos.N · #2

Πολύ ωραίο διαγώνισμα κύριε Θωμά.Θα δώσω το τέταρτο θέμα σήμερα στην τάξη, για να δούμε..

tsolis · #3

Το 4 θέμα είναι καταπληκτικό...

coheNakatos · #4

Βαλτε και τις απαντησεις μην μεινει μετεωρο το θεμα .Ενδιαφερον το 4ο θεμα

#5

Ωραία θέματα Θωμά, θα με ενδιέφερε να δώ τα ποσοστά επιτυχίας.
Σαν γενικό επίπεδο θα τα χαρακτήριζα δύσκολα.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Σχόλιο
Έχουμε πει ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς συνάρτησης είναι επίσης συνεχής συνάρτηση.

Να διευκρινίσουμε εδώ ότι αφορά συνέχεια σε διάστημα και ότι είναι εκτός ύλης.

nulispa · #6

το θεμα 3 Α. νομιζω ειναι λαθος. αν οχι ανεβαστε τις λυσεις γιατι το χω απορια. κατα τα αλλα πολυ καλο 4ο θεμα ψαγμενο 1ο και ευκολο 2ο.

A.Spyridakis · #7

nulispa έγραψε:το θεμα 3 Α. νομιζω ειναι λαθος. αν οχι ανεβαστε τις λυσεις γιατι το χω απορια. κατα τα αλλα πολυ καλο 4ο θεμα ψαγμενο 1ο και ευκολο 2ο.

Έεεεε χμμμμμμ.. Μάλλον έχεις δίκιο. Στη δεύτερη παρένθεση πρέπει να είναι g(x) - 1 και όχι g(x) - x.

Ιστοσελίδα · #8

Προφανώς είναι τυπογραφικό.

nulispa · #9

παντως αν ειναι g(x)-1 δεν ξερω αν θα απαντηθει το επομενο ερωτημα...
γιατι μονο με g(x)-x βρηκα τη λυση

A.Spyridakis · #10

Ας αφήσουμε το Θωμά να μας πει.

paylos · #11

Για το Θέμα 4 του Θωμά .
i) Ο τύπος της συνάρτησης είναι $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{x}{{x^2 + 1}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha \nu {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 0} \\ {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha \nu {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ \end{array}} \right.$
ii) Η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
iii) Εφαρμογή Θ. Bolzano για την g στο[-1, 3].
iv) α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και έχει σύνολο τιμών το R.
β. Από Θ. ενδιάμεσων τιμών στην f στο διάστημα [1, 4].

Α.Κυριακόπουλος · #12

Αγαπητέ Θωμά.
Στο συνημμένο διαγώνισμα, το θέμα 1Α4 λέει:
« Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) < 0,{\rm{ }}\alpha {\rm{,}}\beta {\rm{,}}\gamma \in {\rm{R}}{\rm{, }}\mu \varepsilon {\rm{ }}\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \alpha }$ τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 0}$ ». Σ-Λ
Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{f(x) = {x^2} - 4}$ , η οποία είναι ορισμένη και συνέχισής στο R.
• Με α=0, β=3 και γ=4, έχουμε: $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) = ( - 4) \cdot 5 \cdot 12 < 0}$ . Και υπάρχει
$\displaystyle{\xi = 2 \in (\alpha ,\beta ){\rm{ }}\mu \varepsilon {\rm{ f(}}\xi {\rm{) = 0}}}$ .
• Με $\displaystyle{\alpha = - 1}$ , β=0 και γ=1, έχουμε: $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) = ( - 3) \cdot ( - 4) \cdot ( - 3) < 0}$ . Και δεν υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta ){\rm{ }}\mu \varepsilon {\rm{ f(}}\xi {\rm{) = 0}}}$ .
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι μαθητές «Σωστό» ή «Λάθος», αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος;

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Λείπει η λέξη πάντα.... δηλαδή έπρεπε κατά την γνώμη μου έπρεπε να είναι διατυπωμένο

" ... υπάρχει πάντα ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 0}$ ». Σ-Λ

για να είναι λάθος η απάντηση

#14

Δεν χρειάζονταν καν να αναφερθεί το διάστημα (α,β) , μια και δεν έχουν διαταχθεί τα α, β,γ !

Μπάμπης

coheNakatos · #15

Τελικα θα δωσει καποιος ολοκληρωμενη την απαντηση για το θεμα 4 ?

A.Spyridakis · #16

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δεν χρειάζονταν καν να αναφερθεί το διάστημα (α,β) , μια και δεν έχουν διαταχθεί τα α, β,γ !

Μπάμπης

Ή θα μπορούσε να λέει "... ισχύει f(α)f(β)f(γ)f(δ)<0 με α<γ<δ<β..." και η απάντηση θα ήταν (Σ)!

Α

Α.Κυριακόπουλος · #17

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Λείπει η λέξη πάντα.... δηλαδή έπρεπε κατά την γνώμη μου έπρεπε να είναι διατυπωμένο" ... υπάρχει πάντα ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 0}$ ». Σ-Λγια να είναι λάθος η απάντηση

• Μάκη έχεις δίκιο. Μετά τη λέξη «τότε»: πρέπει να προστεθεί η λέξη: « πάντα»( «πάντοτε», «αναγκαίως», « κατ΄ανάγκη»), η οποία υποκαθιστά τους ποσοδείκτες και μετατρέπει τον προτασιακό τύπο σε πρόταση.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δεν χρειάζονταν καν να αναφερθεί το διάστημα (α,β) , μια και δεν έχουν διαταχθεί τα α, β,γ !
Μπάμπης

• Μπάμπη, αυτό δεν είναι λάθος, γιατί γράφοντας το διάστημα (α, β), αυτομάτως υποθέτει : α < β. Θα μπορούσε βέβαια να πει « υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ που ανήκει στο ανοικτό διάστημα με άκρα τα α και β….», αλλά και τότε θα εννοούσε $\displaystyle{\alpha \ne \beta }$ . Νομίζω ότι σ' αυτό το σημείο καλά το έχει.

A.Spyridakis έγραψε: Ή θα μπορούσε να λέει "... ισχύει f(α)f(β)f(γ)f(δ)<0 με α <γ <δ <β..." και η απάντηση θα ήταν (Σ)!
Α

• Αντώνη σωστά, αλλά τότε θα ήταν μια άλλη και μάλιστα πολύ ωραία άσκηση. Γράφω τη δικαιολογία. Προφανώς $\displaystyle{f(\gamma ) \cdot f(\delta ) \ne 0}$ .
1) Αν f(γ).f(δ)>0, τότε f(α).f(β)<0. Επομένως (Bolzano) υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ με f(ξ)=0.
2) Αν f(γ).f(δ)<0, τότε (Bolzano) υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\gamma ,\delta )}$ , οπότε $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ , με f(ξ)=0.
Η απάντηση λοιπόν (στην νέα άσκηση του Αντώνη, όπως λέει και ο ίδιος ) είναι: Σωστό.

Ιστοσελίδα · #18

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Θωμά.
Στο συνημμένο διαγώνισμα, το θέμα 1Α4 λέει:
« Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) < 0,{\rm{ }}\alpha {\rm{,}}\beta {\rm{,}}\gamma \in {\rm{R}}{\rm{, }}\mu \varepsilon {\rm{ }}\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \alpha }$ τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(\xi ) = 0}$ ». Σ-Λ
Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{f(x) = {x^2} - 4}$ , η οποία είναι ορισμένη και συνέχισής στο R.
• Με α=0, β=3 και γ=4, έχουμε: $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) = ( - 4) \cdot 5 \cdot 12 < 0}$ . Και υπάρχει
$\displaystyle{\xi = 2 \in (\alpha ,\beta ){\rm{ }}\mu \varepsilon {\rm{ f(}}\xi {\rm{) = 0}}}$ .
• Με $\displaystyle{\alpha = - 1}$ , β=0 και γ=1, έχουμε: $\displaystyle{f(\alpha ) \cdot f(\beta ) \cdot f(\gamma ) = ( - 3) \cdot ( - 4) \cdot ( - 3) < 0}$ . Και δεν υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta ){\rm{ }}\mu \varepsilon {\rm{ f(}}\xi {\rm{) = 0}}}$ .
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσουν οι μαθητές «Σωστό» ή «Λάθος», αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος;

Το έχω δει πάρα πολλές φορές να συζητείται εδώ το θέμα το συγκεκριμένο με τα Σ-Λ και αυτό το καταραμένο ΠΑΝΤΑ! Σίγουρα είναι ΤΟ ΣΩΣΤΟ και σαφέστερο να υπάρχει το ΠΑΝΤΑ. ΌΜΩΣ αν θέλουμε να χαρακτηρίσουμε κάποιον ως ειλικρινή ή ψεύτη και άλλοτε λέει αλήθεια ή άλλοτε λέει ψέματα, τότε πώς θα τον χαρακτηρίσουμε;
Προφανώς ψεύτη! Διότι ψεύτης είναι αυτός που έστω και μία φορά λέει ψέματα, ενώ αληθής αυτός που πάντα λέει αλήθεια. Αφού μόνο αυτές οι δύο είναι οι εναλλακτικές. Φυσικά, στα μαθηματικά απαιτείται ακρίβεια, αλλά στο σχολείο όμως αυτό το πρόβλημα έχει προκύψει ακριβώς επειδή ο προτασιακός λογισμός και η λογική έχουν εκπαραθυρωθεί από τα σχολικά μαθηματικά, χάριν απλότητας.

Παρόμοιο είναι το θέμα με τα υπαρξιακά θεωρήματα : όταν λες υπάρχει ένα ξ... το τουλάχιστον είναι το προφανές και άρα το τουλάχιστον πλεονάζον! Ακόμα κι αν χρησιμοποιήσουμε τους ποσοδείκτες, τότε ο ποσοδείκτης $\exists$ : υπάρχει = υπάρχει τουλάχιστον, ενώ ο ποσοδείκτης $\exists !$ : = υπάρχει ΑΚΡΙΒΩΣ. Γιατί λοιπόν να είναι απαραίτητο το τουλάχιστον;

Μάκης Χατζόπουλος · #19

coheNakatos έγραψε:Τελικα θα δωσει καποιος ολοκληρωμενη την απαντηση για το θεμα 4 ?

Μα έχει δώσει απαντήσεις ο Παύλος δες παρακάτω… Είσαι μαθητής ; Τις πράξεις και το γράψιμο μπορείς να το προσπαθήσεις και μόνο σου, δεν δίνουμε εύκολα μασημένη τροφή…

paylos έγραψε:Για το Θέμα 4 του Θωμά .
i) Ο τύπος της συνάρτησης είναι $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{x}{{x^2 + 1}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha \nu {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 0} \\ {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \alpha \nu {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ \end{array}} \right.$
ii) Η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
iii) Εφαρμογή Θ. Bolzano για την g στο[-1, 3].
iv) α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και έχει σύνολο τιμών το R.
β. Από Θ. ενδιάμεσων τιμών στην f στο διάστημα [1, 4].

i) Απλά διέκρινε περιπτώσεις για το χ,
αν χ > 0 τότε το όριο δίνει μηδέν, αφού είναι άπειρο ο παρονομαστής
αν το χ < 0 τότε το όριο της εκθετικής δίνει μηδέν οπότε δίνει αποτέλεσμα $\frac{x}{x^2+1}$
αν χ=0 τότε το κλάσμα δίνει μηδέν άρα και το όριο
οπότε δίνεται ο τύπος της g
ii) Πάλι παίρνεις διαστήματα, για χ<0 για χ>0 και για χ=0 το εξετάζεις με πλευρικά όρια
iii) Ένας τρόπος είναι να πάρεις την συνάρτηση $h(x)=(\kappa +\lambda )g(x)+\frac{\kappa }{2}+\frac{3\lambda }{10}$ και να εφαρμόσει Βolzano στο [-1, 3] , μην ξεχνάς ότι κ, λ >0
iv) α) Αποδεικνύεις ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R οπότε βρίσκεις το σύνολο τιμών από τα όρια στα άκρα του διαστήματος του π.ο
β) Υπήρχε παρόμοια άσκηση στις Πανελλήνιες εξετάσεις

Α.Κυριακόπουλος · #20

polysot έγραψε:Το έχω δει πάρα πολλές φορές να συζητείται εδώ το θέμα το συγκεκριμένο με τα Σ-Λ και αυτό το καταραμένο ΠΑΝΤΑ! Σίγουρα είναι ΤΟ ΣΩΣΤΟ και σαφέστερο να υπάρχει το ΠΑΝΤΑ. ΌΜΩΣ αν θέλουμε να χαρακτηρίσουμε κάποιον ως ειλικρινή ή ψεύτη και άλλοτε λέει αλήθεια ή άλλοτε λέει ψέματα, τότε πώς θα τον χαρακτηρίσουμε;
Προφανώς ψεύτη! Διότι ψεύτης είναι αυτός που έστω και μία φορά λέει ψέματα, ενώ αληθής αυτός που πάντα λέει αλήθεια. Αφού μόνο αυτές οι δύο είναι οι εναλλακτικές. Φυσικά, στα μαθηματικά απαιτείται ακρίβεια, αλλά στο σχολείο όμως αυτό το πρόβλημα έχει προκύψει ακριβώς επειδή ο προτασιακός λογισμός και η λογική έχουν εκπαραθυρωθεί από τα σχολικά μαθηματικά, χάριν απλότητας.

Αγαπητέ polysot. Θα μου επιτρέψεις να σου πω τα εξής:
1) Είναι χαμένος κόπος το να προσπαθεί κάποιος να εμβαθύνει στα μαθηματικά με την κοινή λογική. Πέρα απ' αυτό, είναι βέβαιο ότι θα φθάσει και σε λανθασμένα συμπεράσματα, και το χειρότερο, χωρίς να το καταλάβει.
•Τα Μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής.
2) Τη Μαθηματική Λογική που είχαν κάποτε τα σχολικά βιβλία, την αφαίρεσαν γιατί σύμφωνα με το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο: « όχι γιατί δεν χρειάζεται, ούτε ‘’χάριν απλότητας’’, αλλά γιατί δεν προσπάθησαν να την κατανοήσουν με αποτέλεσμα να θεωρούν τα σύμβολα της Μαθηματικής Λογικής ως σύμβολα στενογραφίας και να τα γράφουν μέσα στα κείμενα!!!». ( που δυστυχώς συνεχίζεται μέχρι και σήμερα)
3) Τη Μαθηματική Λογική δεν είναι ανάγκη να την έχουν τα σχολικά βιβλία, ούτε να την διδάσκουμε σαν ιδιαίτερο μάθημα στους μαθητές. Εμείς οι δάσκαλοι πρέπει να την ξέρουμε πάρα πολύ καλά, αφού κάθε φορά που κάνουμε μαθηματικά αυτή εφαρμόζουμε, είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι. Όμως, όταν την εφαρμόζουμε συνειδητά, είναι βέβαιο ότι τα απαραίτητα στοιχεία θα τα περάσουμε και τους μαθητές. Έτσι, όχι μόνο θα κατανοούν καλύτερα τα μαθηματικά, αλλά θα βοηθηθούν και στα άλλα μαθήματα.
Με εκτίμηση.

Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Re: Διαγώνισμα 2 στη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση