(απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Nazgul · #1

Kαλησπέρα σας.

Nα βρεθεί η συνάρτηση $f: R- \left\{-1,2 \right\}\rightarrow R- \left\{0,1 \right\}$ που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση :

$f\left( \frac{x+1}{x-2} \right) + 2 f\left( \frac{x-2}{x+1} \right) =x$ , $\forall x\epsilon R-\left\{ -1,1,2 \right\}$

#2

Nazgul έγραψε:Kαλησπέρα σας.

Nα βρεθεί η συνάρτηση $f: R- \left\{-1,2 \right\}\rightarrow R- \left\{0,1 \right\}$ που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση :

$f\left( \frac{x+1}{x-2} \right) + 2 f\left( \frac{x-2}{x+1} \right) =x$ , $\forall x\epsilon R-\left\{ -1,1,2 \right\}$

Βάζοντας $\displaystyle x= \frac {2a+1}{a-1}$ η συναρτησιακή γράφεται $\displaystyle f(a) + 2 f \left(\frac {1}{a} \right)= \frac {2a+1}{a-1} \, (1)$ . Αν στην τελευταία βάλουμε όπου

το

δίνει $\displaystyle f \left(\frac {1}{a} \right) + 2f(a)= \frac {2+a}{1-a} \, (2)$ . Τέλος η $2\times (2)-(1)$ δίνει $\displaystyle 4f(a)= 2 \cdot \frac {2+a}{1-a} - \frac {2a+1}{a-1}$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

minast1994 · #3

καλησπέρα...
θέτωντας όπου $y=\frac{x+1}{x-2}\Leftrightarrow xy-2y=x+1\Leftrightarrow xy-x=2y+1\Leftrightarrow x(y-1)=2y+1\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{y-1}$
η εξίσωση παίρνει την ισοδύναμη μορφη
$f(y)+2f(\frac{1}{y})=\frac{2y+1}{y-1}$ (1)
θέτωντας πάλι όπου $y\rightarrow \frac{1}{y}$ έχουμε $f(\frac{1}{y})+2f(y)=\frac{\frac{2}{y}+1}{\frac{1}{y}-1}\Leftrightarrow 2f(\frac{1}{y})+4f(y)=2\frac{\frac{2}{y}+1}{\frac{1}{y}-1}$ (2)
αφαιρώντας της 1 απο την 2 έπεται το ζητούμενο...

pito · #4

Καλησπέρα . Αρχικά για να έχουν νόημα οι $f(\frac{x+1}{x-2}), f(\frac{x-2}{x+1})$ πρέπει $\frac{x+1}{x-2}\neq -1\Rightarrow x\neq \frac{1}{2}, \frac{x+1}{x-2}\neq 2\Rightarrow x\neq 5, \frac{x-2}{x+1}\neq -1\Rightarrow x\neq \frac{1}{2}, \frac{x-2}{x+1}\neq 2\Rightarrow x\neq -4$

Θέτω $\frac{x+1}{x-2}=t\Rightarrow ...\Rightarrow x=\frac{1+2t}{t-1}$ ( πρέπει $x\neq -1\Rightarrow \frac{1+2t}{t-1}\neq -1\Rightarrow t\neq 0, x\neq -1\Rightarrow \frac{1+2t}{t-1}\neq2\Rightarrow$ και το τελευταίο ισχύει πάντα και ακόμη $x\neq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1+2t}{t-1}\neq \frac{1}{2}\Rightarrow t\neq -1, x\neq 5\Rightarrow \frac{1+2t}{t-1}\neq 5\Rightarrow t\neq 2, x\neq -4\Rightarrow \frac{1+2t}{t-1}\neq -4\Rightarrow t\neq \frac{1}{2}$ )
και η δοσμένη σχέση γίνεται $f(t)+2f(\frac{1}{t})=\frac{1+2t}{t-1}$ .(1)
Στην τελευταία βάζω όπου

το $f(\frac{1}{t})+2f(t)=\frac{1+\frac{2}{t}}{\frac{1}{t}-1}=\frac{t+2}{1-t}$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2)προκύπτει $f(t)=\frac{5+4t}{3-3t}$ που επαληθεύει και την αρχική.

pito · #5

Απαντήσεις με διαφορά ενός λεπτού!

Να ρωτήσω κάτι, οι περιορισμοί που άρχιζα και έπαιρνα δεν χρειάζονται, επειδή μας δίνεται από την αρχή το πεδίο ορισμού της

;;

parmenides51 · #6

pito έγραψε:Να ρωτήσω κάτι, οι περιορισμοί που άρχιζα και έπαιρνα δεν χρειάζονται, επειδή μας δίνεται από την αρχή το πεδίο ορισμού της ;;

Δεν ξέρω, μπερδεύτηκα κι εγώ, καμία άλλη γνώμη;

#7

parmenides51 έγραψε:
pito έγραψε:Να ρωτήσω κάτι, οι περιορισμοί που άρχιζα και έπαιρνα δεν χρειάζονται, επειδή μας δίνεται από την αρχή το πεδίο ορισμού της ;;
Δεν ξέρω, μπερδεύτηκα κι εγώ, καμία άλλη γνώμη;

Η διατύπωση του προβλήματος είναι λίγο "περίεργη".

Nazgul έγραψε:Kαλησπέρα σας.

Nα βρεθεί η συνάρτηση $f: R- \left\{-1,2 \right\}\rightarrow R- \left\{0,1 \right\}$ που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση :

$f\left( \frac{x+1}{x-2} \right) + 2 f\left( \frac{x-2}{x+1} \right) =x$ , $\forall x\epsilon R-\left\{ -1,1,2 \right\}$

Για παράδειγμα, από τα παραπάνω, η

δεν πρέπει να παίρνει την τιμή 0, αλλά ούτε την τιμή 1, που φαίνεται αδύνατο αφού αναγκαστικά πρέπει να είναι

$f(-\frac{5}{4})=0$ και $f(-\frac{2}{7}=1$ .

Επίσης, δεν είναι φανερό γιατί να εξαιρείται το

καθώς και το

από πεδίο ορισμού της

, ή γιατί να εξαιρείται η τιμή x=1

από τον τύπο κι όχι από το πεδίο ορισμού (το

θα έπρεπε να μην είναι στο πεδίο ορισμού).

Αν η διατύπωση ήταν:

"Nα βρεθεί η συνάρτηση $f: R- \left\{1 \right\}\rightarrow R- \left\{-\frac{4}{3}\}$ που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση :

$f\left( \frac{x+1}{x-2} \right) + 2 f\left( \frac{x-2}{x+1} \right) =x$ , $\forall x\epsilon R-\left\{ -1,2 \right\}$ "

όλα θα ήταν μια χαρά.

Αναρωτιέμαι ποια είναι η πηγή του προβλήματος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

(απλή) Συναρτησιακή Σχέση

(απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Re: (απλή) Συναρτησιακή Σχέση

Μέλη σε σύνδεση