Oπώς κάποτε

erxmer · #1

Αν

οι ρίζες της εξίσωσης x^4-4x^3-x^2+10x-150=0

και

τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί δείξτε οτι

$|r_1z_1|^2+|r_2z_2|^2+|r_3z_3|^2+|r_4z_4|^2 \geq |z_1+z_2+z_3+z_4|^2$ .

#2

Η εξίσωση έχει τις ρίζες $\displaystyle{-3,5,1\pm 3i,}$ οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{9|z_1|^2+25|z_2|^2+10|z_3|^2+10|z_4|^2\geq |z_1+z_2+z_3+z_4|^2.}$

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{9|z_1|^2+25|z_2|^2+10|z_3|^2+10|z_4|^2\geq \frac{(|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|)^2}{\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}=\frac{225}{124}|z_1+z_2+z_3+z_4|^2}$

με το τελευταίο βήμα να είναι εφαρμογή της ανισότητας του τριγώνου.

Πάντως, η ίδια άσκηση μπορεί να γίνει λίγο πιο πικάντικη αν αντί αυτής της εξίσωσης δοθεί κάποια που δεν έχει "καλές" ρίζες, όπως π.χ. η $\displaystyle{x^4-3x^2+x-20=0.}$

Oπώς κάποτε

Oπώς κάποτε

Re: Oπώς κάποτε

Μέλη σε σύνδεση