Θεωρούμε τον μιγαδικό

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

A.i)
Εφόσον $\displaystyle{z=x+yi,\ \ x,y\in R}$ άρα η εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle{f(z)=1+2i \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow(x^2+y^2-x+y)+(-x+y+1)i=1+2i} \ \ (*)$
Επομένως:
$\displaystyle{x^2+y^2-x+y=1 \ \ (1)}$ και $\displaystyle{-x+y=1 \ \ (2)}$
Το σύστημα των (1) και (2) γίνεται:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} x^2+y^2-x+y=1\\ -x+y=1 \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} x^2+y^2-x+y=1\\ y=x+1 \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \\\left.\begin{matrix} x^2+(x+1)^2-x+(x+1)=1 \\ y=x+1 \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} x^2+(x+1)^2=0 \ \ (3)\\ y=x+1 \end{matrix}\right\}$
εξίσωση (3) όμως είναι αδύνατη στο $\displaystyle{R}$ . Άρα η εξίσωση $\displaystyle{f(z)=1+2i}$ είναι αδύνατη.

Α.iiα)
Από την (*) προκύπτει:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} Re(f(z))=x^2+y^2-x+y\\Im(f(z))=-x+y+1 \end{matrix}\right\}$

Α.iiβ)
Για να είναι ο $\displaystyle{f(z)}$ φανταστικός θα πρέπει το πραγματικό του μέρος να είναι μηδέν. Άρα:
$\displaystyle{Re(f(z))=0}$ και συνεπώς: $\displaystyle{ x^2+y^2-x+y=0}$ δηλαδή: $\displaystyle{ (x-\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$
που είναι κύκλος με κέντρο $\displaystyle{K(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) }$ και ακτίνα ίση με $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Βi)
Αφού $\displaystyle \bar {f(z)}=-f(z)$ άρα ο $\displaystyle{f(z)}$ είναι φανταστικός(γνωστό κριτήριο) και συνεπώς το πραγματικό του μέρος είναι μηδέν. Άρα: $\displaystyle{x^2+y^2-x+y=0\Rightarrow x^2+y^2=x-y}$

Bii)
Αν $\displaystyle{f(z)=f(\bar{z})}$ τότε:
$\displaystyle (z-1)(\bar{z}-i)=(\bar{z}-1)(z-i)\Leftrightarrow \\\left|z \right|^2-zi-\bar{z}+i=\left|z \right|^2-\bar{z}i-z+i\Leftrightarrow \\zi+\bar{z}=\bar{z}i+z\Leftrightarrow \\(x+yi)i+x-yi=(x-yi)i+x+yi\Leftrightarrow \\y=yi\Leftrightarrow y(1-i)=0\Leftrightarrow y=0$
άρα ο $\displaystyle{z}$ είναι πραγματικός αριθμος.

Κώστας Δόρτσιος

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Έχω την άποψη πως κατά τα τελευταία χρόνια πολλά θέματα έχουν μπει στο περιθώριο ενώ
διάφορα άλλα έχουν κάνει την εμφάνισή των.
Ειδικότερα στα μαθηματικά αυτό βιώνεται, βλέπεις, με τη Γεωμετρία. Αλλά και στη λεγόμενη άλγεβρα
πολλά και σημαντικά θεωρήθηκαν ως πλεονασμοί ή ως θέματα που μπορούν να εξαχθούν από
άλλα πιο στοιχειώδη και παραγκωνίστηκαν, όπως αυτό το κριτήριο που αναφέρθηκα στη λύση. Η ταχύτητα της εποχής,
η αδυναμία αξιολόγησης και διάκρισης του σημαντικού από το ασήμαντο, η προχειρότητα, και άλλα πολλά, πιστεύω
πως οδήγησαν σε τέτοιες συμπεριφορές.

Κώστας Δόρτσιος

Γιώργος Απόκης · #5

KDORTSI έγραψε:Έχω την άποψη πως κατά τα τελευταία χρόνια πολλά θέματα έχουν μπει στο περιθώριο ενώ
διάφορα άλλα έχουν κάνει την εμφάνισή των.
Ειδικότερα στα μαθηματικά αυτό βιώνεται, βλέπεις, με τη Γεωμετρία. Αλλά και στη λεγόμενη άλγεβρα
πολλά και σημαντικά θεωρήθηκαν ως πλεονασμοί ή ως θέματα που μπορούν να εξαχθούν από
άλλα πιο στοιχειώδη και παραγκωνίστηκαν, όπως αυτό το κριτήριο που αναφέρθηκα στη λύση. Η ταχύτητα της εποχής,
η αδυναμία αξιολόγησης και διάκρισης του σημαντικού από το ασήμαντο, η προχειρότητα, και άλλα πολλά, πιστεύω
πως οδήγησαν σε τέτοιες συμπεριφορές.

Κώστας Δόρτσιος

Συμφωνώ! Δυστυχώς η "κόκκινη" φράση περιγράφει τη σημερινή κατάσταση σε πολλά επίπεδα...

Θεωρούμε τον μιγαδικό

Θεωρούμε τον μιγαδικό

Re: Θεωρούμε τον μιγαδικό

Re: Θεωρούμε τον μιγαδικό

Re: Θεωρούμε τον μιγαδικό

Re: Θεωρούμε τον μιγαδικό

Μέλη σε σύνδεση