ασκηση μιγαδικων

killbill121 · #1

1 προς z τετραγων μειον 1 προς z συζυγες τετραγωνo = 8 επι i

ΝΔΟ μετρο z μικροτερο ισο 1/2

sry για τα γραμματα αλλα ειμαι λιγο newbie

#2

killbill121 έγραψε:1 προς z τετραγων μειον 1 προς z συζυγες τετραγωνo = 8 επι i

ΝΔΟ μετρο z μικροτερο ισο 1/2

Ελπίζωντας ότι ο killbill121 εννοεί τό φυσιολογικότερο, η άσκηση σέ κανονική μορφή:

Άν γιά τόν μιγαδικό

ισχύει $\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{{\overline{z}\,}^2}=8\,i$ , νά αποδειχθεί ότι $|{z}|\leq\dfrac{1}{2}$ .

Υ.Γ. Προσπάθησε νά γράψεις σέ $\LaTeX$ . Δέν είναι δύσκολο. Αλλοιώς αυτό πού γράφεις θά μπορούσε νά είναι $\dfrac{1}{z^2-\frac{1}{{\overline{z}\,}^2}}=8\,i$ .

Ιστοσελίδα · #3

Προφανώς $z\neq 0$ . Έστω z=a+bi

.

Η δοθείσα ισότητα μετασχηματίζεται στην $\dfrac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{\left|z\right|^4}=-8i$ και μετά στην
$\dfrac{ab}{\left|z\right|^4}=-2 \Rightarrow 2\left|z\right|^4+ab=0 \Rightarrow 2\left|z\right|^4+\dfrac{(a+b)^2-\left|z\right|^2}{2}=0 \Rightarrow \left|z\right|^2(1-4\left|z\right|^2) = (a+b)^2 \geq 0$

Επομένως $1-4\left|z\right|^2\geq 0$ από το οποίο παίρνουμε $\left|z\right|\leq \frac{1}{2}$

#4

Ίσως, λίγο απλούστερα:

Θέτοντας, $\displaystyle{\frac{1}{z}=w,}$ έχουμε να αποδείξουμε ότι, αν $\displaystyle{w^2 -\bar{w}^2=8i,}$ τότε $\displaystyle{\left|w \right| \geq 2.}$

Πράγματι, από την τριγωνική ανισότητα, έχουμε

$\displaystyle{8=\left|8i \right|=\left|w^2 -\bar{w}^2 \right|\leq \left|w^2 \right|+\left|\bar{w}^2 \right|=2\left|w \right|^2,}$

από όπου προκύπτει η ζητούμενη.

mathxl · #5

Διαφορετικά
Έστω ότι για τον μη μηδενικό μιγαδικό z ισχύει $\displaystyle{\left| z \right| > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{z}} \right| < 2 \Leftrightarrow {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} < 4}$

Από την ιδιότητα μέτρου αθροίσματος έχουμε
$\displaystyle{\left| {\frac{1}{{{z^2}}} - \frac{1}{{{{\bar z}^2}}}} \right| \le \left| {\frac{1}{{{z^2}}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{{{\bar z}^2}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {8i} \right| \le {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} + {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} \Leftrightarrow 8 \le 2{\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} \Leftrightarrow {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} \ge 4}$
άτοπο

ασκηση μιγαδικων

ασκηση μιγαδικων

Re: ασκηση μιγαδικων

Re: ασκηση μιγαδικων

Re: ασκηση μιγαδικων

Re: ασκηση μιγαδικων

Μέλη σε σύνδεση