Άσκηση Μιγαδικών

mcrae · #1

Έστω $\displaystyle{f(z) = {z^2} - 4z + 13,{\rm{ z}} \in {\rm{C}}}$ και ο μιγαδικός $\displaystyle{u = 6 + ( - 3 + 2\sqrt 5 ) \cdot i}$ .
A. Να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{{z_1}}$ και $\displaystyle{{z_2}}$ της εξίσωσης $\displaystyle{f(z) = 0}$ .
Β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{{z_1}}$ , $\displaystyle{{z_2}}$ και του μιγαδικού u σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο
στο μιγαδικό επίπεδο.
Γ. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w = {z_1}^{2010} + {z_2}^{2010}}$ είναι πραγματικός.
Δ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη σχέση
$\displaystyle{f(z) = {\left| z \right|^2} - 4z + 13}$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα.

$\displaystyle{\bullet\,A}$ : Για $\displaystyle{z\in\mathbb{C}}$ έχουμε :

$\displaystyle{\begin{aligned} f(z)=0&\iff z^2-4\,z+13=0\\&\iff \left(z-2\right)^2+9=0\\&\iff \left(z-2\right)^2-\left(3\,i\right)^2=0\\&\iff \left(z-2-3\,i\right)\,\left(z-2+3\,i\right)=0\\&\iff z\in\left\{2+3\,i,2-3\,i\right\}\end{aligned}}$

$\displaystyle{\bullet B}$ : Έστω $\displaystyle{z_1=2+3\,i\,,z_2=2-3\,i=\bar{z_1}\,,u=6+i\,\left(-3+2\,\sqrt{5}\right)}$

με εικόνες $\displaystyle{A(2,3)\,,B(2,-3)\,,C(6,-3+2\,\sqrt{5})}$ αντίστοιχα.

To σημείο $\displaystyle{C}$ δεν ανήκει στην ευθεία του μιγαδικού επιπέδου, που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{A\,B}$ ,

η οποία είναι η ευθεία με εξίσωση : $\displaystyle{x=2}$ , μιας και $\displaystyle{6\neq 2}$ . Επομένως, τα παραπάνω

σημεία δημιουργούν τρίγωνο. Επειδή :

$\displaystyle{\left(AB\right)=6\,,\left(AC\right)=\sqrt{16+(6-2\,\sqrt{5})^2}=\sqrt{72-24\,\sqrt{5}}\,,\left(BC\right)=\sqrt{16+(-2\,\sqrt{5})^2}=\sqrt{36}=6=\left(AB\right)}$ ,

έπεται ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισοσκελές.

$\displaystyle{\bullet \Gamma}$ : Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{\bar{w}=w}$ . Πράγματι,

$\displaystyle{\bar{w}=\left(\bar{z_1}\right)^{2010}+\left(\bar{z_2}\right)^{2010}=\left(z_2\right)^{2010}+\left(z_1\right)^{2010}=w}$ .

$\displaystyle{\bullet \Delta}$ : Έστω $\displaystyle{z=x+i\,y\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$ ένας μιγαδικός τέτοιος, ώστε

$\displaystyle{f(z)=\left|z\right|^2-4\,z+13}$ , και $\displaystyle{M(x,y)}$ η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο.

Τότε :

$\displaystyle{z^2-4\,z+13=\left|z\right|^2-4\,z+13\implies z^2=\left|z\right|^2=z\,\bar{z}\implies z\,\left(z-\bar{z}\right)=0}$ ,

απ' όπου συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{z=0}$ ή $\displaystyle{z=\bar{z}}$ , δηλαδή, $\displaystyle{z\in\mathbb{R}\iff y=0}$ .

Αντίστροφα, αν $\displaystyle{M(x,0)\,,x\in\mathbb{R}}$ είναι τυχόν σημείο του μιγαδικού επιπέδου, τότε για τον μιγαδικό

$\displaystyle{z=x+i\,0}$ ισχύει : $\displaystyle{f(z)=z^2-4\,z+13=x^2-4\,z+13=(x^2+0^2)-4\,z+13=\left|z\right|^2-4\,z+13}$ .

Ώστε, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{f(z)=\left|z\right|^2-4\,z+13}$

είναι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{\left(e\right): y=0}$ .

mcrae · #3

Καλημέρα κ. Παπαπέτρο. Αυτή είναι η λύση όπως πολύ σωστά παραθέσατε.

Άσκηση Μιγαδικών

Άσκηση Μιγαδικών

Re: Άσκηση Μιγαδικών

Re: Άσκηση Μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση