Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)
1.Βρείτε όλους τους ακέραιους x,y,z,m έτσι ώστε η παράσταση να είναι ρητός αριθμός:
2. Δίνεται η συνάρτηση με να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α)
β)
2. Δίνεται η συνάρτηση με να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α)
β)
Γιώργος
Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)
2.α) Aν (α,β,γ) τριάδα του f(2006)=>(α+1,β+1,γ+1) τριάδα του f(2009)=>f(2009)>=f(2006)
η ισότητα απορίπτεται από την ύπαρξη της τριάδας (1004,503,502) του f(2009) ενώ η (1003,502,501) δεν είναι τριάδα του f(2006)
b)με τον ίδιο τρόπο f(2010)>=f(2007),αλλά δουλεύοντας ανάποδα για τις τριάδες (α,β,γ) και (α-1,β-1,γ-1) διαπιστώνει κανείς ότι f(2010)<=f(2007)
=> f(2010)=f(2007)
η ισότητα απορίπτεται από την ύπαρξη της τριάδας (1004,503,502) του f(2009) ενώ η (1003,502,501) δεν είναι τριάδα του f(2006)
b)με τον ίδιο τρόπο f(2010)>=f(2007),αλλά δουλεύοντας ανάποδα για τις τριάδες (α,β,γ) και (α-1,β-1,γ-1) διαπιστώνει κανείς ότι f(2010)<=f(2007)
=> f(2010)=f(2007)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)
Έχει τεθεί και σε ολυμπιάδα της Ινδίας.Eukleidis έγραψε: 2. Δίνεται η συνάρτηση με να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α)
β)
Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 41&t=55427&
http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/uplo ... o-sol-2000
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες