Μοιάζει με την ... e^x

#1

.
Για την εξίσωση $\left ( 1+\dfrac {1}{x} \right ) ^{x+1}= \left ( 1+\dfrac {1}{5} \right ) ^{5}$

α) Δείξτε ότι δεν έχει θετικές ρίζες.

β) Βρείτε (την μοναδική) αρνητική της ρίζα.

(Για το β) μου αρκεί να βρείτε ρίζα, και ας μην ασχοληθείτε με την μοναδικότητα. Ο λόγος που έθεσα την ερώτηση είναι ακριβώς η εύρεση της αρνητικής ρίζας. Το πρόβλημα γενικεύεται. Π.χ. αν βρείτε την ρίζα της $\left ( 1+\dfrac {1}{x} \right ) ^{x+1}= \left ( 1+\dfrac {1}{2025} \right ) ^{2025}$ , θα αντιληφθείε αμέσως το μοτίβο).

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 29, 2025 12:20 pm
.
Για την εξίσωση $\left ( 1+\dfrac {1}{x} \right ) ^{x+1}= \left ( 1+\dfrac {1}{5} \right ) ^{5}$

β) Βρείτε (την μοναδική) αρνητική της ρίζα.

(Για το β) μου αρκεί να βρείτε ρίζα, και ας μην ασχοληθείτε με την μοναδικότητα. Ο λόγος που έθεσα την ερώτηση είναι ακριβώς η εύρεση της αρνητικής ρίζας. Το πρόβλημα γενικεύεται. Π.χ. αν βρείτε την ρίζα της $\left ( 1+\dfrac {1}{x} \right ) ^{x+1}= \left ( 1+\dfrac {1}{2025} \right ) ^{2025}$ , θα αντιληφθείε αμέσως το μοτίβο).

Ξεκινάμε με την απλή παρατήρηση:

$\displaystyle{1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} = \left( \frac{x}{x+1} \right)^{-1} = \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{-1}}$
Συνεπώς,

$\displaystyle{\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x+1} = \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{-(x+1)}}$

Άρα, x=-6

(π.χ αν θέσουμε t=-(x+1)

.)

Tolaso J Kos · #3

Για τη μοναδικότητα ίσως αυτό το θέμα εδώ να βοηθήσει.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 29, 2025 4:47 pm
Για τη μοναδικότητα ίσως αυτό το θέμα εδώ να βοηθήσει.

Ασφαλώς βοηθάει (απαντάει), αλλά μπορούμε και ευκολότερα γιατί η παραπομπή έχει γενικό

αντί

, που περιπλέκει την κατάσταση.

To α) μέρος της άσκησης είναι ακόμα ανοικτό.

Dimessi · #5

Το (α)
Η συνάρτηση $\displaystyle h(x)=(1+\frac{1}{x})^{x+1}-(\frac{6}{5})^{5}$
x>0

έχει $h'(x)=(1+\frac{1}{x})^{x+1}(\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x})$
x>0

που είναι γνήσια αρνητική από τη γνωστή $1+x\leq e^{x}$ στο $\mathbb{R}$ με ισότητα μόνο στο

οπότε h γνήσια φθίνουσα .
Σημειώνουμε ότι είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα με όριο στο $+\infty$ το $e-(\frac{6}{5})^{5}>\frac{54}{20}-(\frac{6}{5})^{5}>0$
οπότε είναι παντού θετική.

#6

Dimessi έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 30, 2025 3:41 am

Η συνάρτηση $\displaystyle h(x)=(1+\frac{1}{x})^{x+1}-(\frac{6}{5})^{5}$

έχει $h'(x)=(1+\frac{1}{x})^{x+1}(\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x})$

που είναι γνήσια αρνητική από τη γνωστή $1+x\leq e^{x}$ στο $\mathbb{R}$ με ισότητα μόνο στο
οπότε h γνήσια φθίνουσα .

Αξίζει εδώ ένα σχόλιο: H παραπάνω απόδειξη έδωσε ότι η $\left (1+\dfrac{1}{x} \right )^{x+1}$ είναι γνήσια φθίνουσα. Όμοια δείχνουμε (το γνωστό άλλωστε) ότι η $\left (1+\dfrac{1}{x} \right )^{x}$ είναι γνήσια αύξουσα.

Επίσης παρατηρούμε ότι οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν και οι δύο όριο στο $+\infty$ το

. Π.χ. για την πρώτη είναι

$\displaystyle{ \left (1+\dfrac{1}{x} \right )^{x+1} =\left (1+\dfrac{1}{x} \right )^{x}\left(1+\dfrac{1}{x} \right ) \to e\cdot 1=e}$ .

Έπεται από τις δύο γνήσιες μονοτονίες ότι για κάθε a,b>0

έχουμε

$\displaystyle{\boxed { \left (1+\dfrac{1}{a} \right )^{a+1} > e > \left (1+\dfrac{1}{b} \right )^{b}}}$

Αυτό ερμηνεύει πολύ καλά γιατί δεν μπορεί να ισχύει η ισότητα $\left (1+\dfrac{1}{x} \right )^{x+1} = \left (1+\dfrac{1}{5} \right )^{5}$ (o αριθμός

είναι μεταξύ τους).

Μοιάζει με την ... e^x

Μοιάζει με την ... e^x

Re: Μοιάζει με την ... e^x

Re: Μοιάζει με την ... e^x

Re: Μοιάζει με την ... e^x

Re: Μοιάζει με την ... e^x

Re: Μοιάζει με την ... e^x

Μέλη σε σύνδεση