β) Να δείξετε ότι η παρουσιάσει τοπικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
γ)Να δείξετε ότι για κάθε . Έπειτα να εξηγήσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
δ)Να βρείτε, εάν υπάρχει, το όριο
ε)Να δείξετε ότι
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
Προσοχή. Εδώ έχεις ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.
Κάπου σε χάνω γιατί κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Π.χ. κάνεις αρκετά βήματα στο γ) με παραγωγίσεις και λοιπά για να καταλήξεις ότι μία ευθεία όπως είναι η , είναι μονότονη. Εδώ και η μονοτονία δεν θέλει θεωρίες.
Μήπως το σημειωμένο με κόκκινο να το ξαναδείτε!Πυθαγόρεια Τριάδα έγραψε: ↑Τρί Μαρ 08, 2022 3:30 pmΈστω μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα με:
α) Να δείξετε ότι
β) Να δείξετε ότι η παρουσιάσει τοπικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
γ)Να δείξετε ότι για κάθε . Έπειτα να εξηγήσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
δ)Να βρείτε, εάν υπάρχει, το όριο
ε)Να δείξετε ότι
Να είσαι καλά που πήγες στο αντιπαράδειγμα γιατί
Μια παρατήρηση πρώτα: Δεν γράφουμε ότι "η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, (φθίνουσα), για χ...." Δεν υπάρχει η έννοια της μονοτονίας σε κάποιον αριθμό χ.ma128 έγραψε: ↑Τετ Μαρ 09, 2022 4:56 pmΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΟΤΙ:
β)Απο Θ.Rolle για την στο , προκύπτει οτι υπάρχει ώστε
Αφού
Έπεται οτι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό , και άρα η είναι η μοναδική της ρίζα.
Επομένως, ισχύει: και
Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο
Έτσι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για το και ολικό ελάχιστο για το .
α)Απο ΘΜΤ για την στα και , υπάρχουν και τέτοια ώστε:
Ισχύει: και αύξουσα
Επομενως:
γ)Θεωρώ:
Παρατηρώ ότι: και
Επομένως, απο θ.Μπολζάνο , υπάρχει, και λόγω μονοτονίας είναι μοναδικό, , ώστε
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για και γνησίως αύξουσα για
Δηλαδή, για , ισχύει:
δ) ΜΕ ΕΠΙΦΥΛΑΞΗ
Ο παρανομαστής είναι: , και γνωρίζω ότι: .
Επομένως:
Ενώ, ο αριθμητής είναι:
Θεωρώ:
Παρατηρώ οτι:
Παρατηρώ, ότι: και λόγω μονοτονίας αποτελεί μοναδική ρίζα.
Άρα, η είναι φθίνουσα για και αύξουσα, για .
Επομένως ισχύει:
Και έτσι:
Τελικά:
ε) Προκύπτει άμεσα απο την ανισότητα του γ)
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες