Καλή !!!

georgiom · #1

συνεχής στο [a,b]

και για καθε

$\epsilon$ [a,b]

ισχύει

\displaystyle{\geq 0
Να αποδείξετε ότι :
Υπάρχουν

p,c,d

\epsilon

[a,b]

g(p)} $\geq$ $\sqrt{g(c)g(d)}$

maiksoul · #2

Αν η

:

- είναι σταθερή το ζητούμενο είναι άμεσο

- δεν είναι σταθερή, τότε έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle{ \,\,\,M = g(x_0 ),\,\,\,\,\,\,x_0 \in [a,b]\,\,\, }$ και ισχύει

$\displaystyle{ \,\,0 \le g(x) \le g(x_0 )\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in [a,b]\,\,\, }$

επομένως

$\displaystyle{ \,\forall x_1 ,x_2 \in [a,b]\,\,,x_1 \ne x_2 \ne x_0 \ne x_1 \Rightarrow 0 \le g(x_1 ) \le g(x_0 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,0 \le g(x_2 ) \le g(x_0 )\,\,\,\,(2)\,\, }$

Με πολλαπλασιασμό τον (1),(2) άμεσα ,προκύπτει το ζητούμενο.

Christos.N · #3

Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα παρουσιάζει μέγιστη τιμή.

Μπορεί να γενικευτεί πολύ εύκολα με τα ίδια δεδομένα σε: $\displaystyle{ g(x_0 ) \ge \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {g\left( {x_i } \right)} }},\,\,\,x_0 ,x_i \in \left[ {a,b} \right] }$

#4

georgiom έγραψε: συνεχής στο και για καθε $\epsilon$ ισχύει \displaystyle{\geqp,c,d\epsilon[a,b]g(p)} $\geq$ $\sqrt{g(c)g(d)}$

Δεν καταλαβαίνω ακριβώς τι σχέση η έννοια της συνάρτησης και η συνέχεια αυτής με το ζητούμενο. Οποιοιδήποτε αριθμοί $\displaystyle{a,b,c\geq 0}$ και να μας δοθούν, πάντα ένας από τους τρεις θα είναι μεγαλυτερός ή ίσος του γεωμετρικού μέσου των άλλων δύο.
Πράγματι, αν ίσχυε

$\displaystyle{\begin{cases}a^2<bc, \\ b^2<ca, \\ c^2 <ab\end{cases}}$

με πολλαπλασιασμό φτάνουμε στην $\displaystyle{a^2b^2c^2<a^2b^2c^2,}$ άτοπο.

#5

Θα δείξουμε κάτι ισχυρότερο. Για οποιουσδήποτε αριθμούς $c,d \in[a,b]$ με c<d

(όμοια μπορεί να γίνει και για c>d

ή

) υπάρχει

ώστε να ισχύει το ζητούμενο αλλά με ισότητα. Πράγματι αν m, M

είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της

στο

τότε $m\leq \sqrt{g(c)g(d)} \leq M$ συνεπώς από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $p\in [c,d]$ ώστε $g(p)=\sqrt{g(c)g(d)}$ .

Αλέξανδρος

Καλή !!!

Καλή !!!

Re: Καλή !!!

Re: Καλή !!!

Re: Καλή !!!

Re: Καλή !!!

Μέλη σε σύνδεση