Κυνηγώντας το πεντάρι

KARKAR · #1

: Κυνηγώντας το πεντάρι.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές

Σε σημείο

της $C_{f}$ , φέρουμε κάθετη προς την εφαπτομένη , η οποία τέμνει την $C_{g}$

στο σημείο

. Να βρεθεί το σημείο

, ώστε να είναι : TS=5

.
Η άσκηση δεν είναι για τον παρόντα φάκελο αλλά δεν ταιριάζει και σε κανέναν άλλο

Nikitas K. · #2

: Κυνηγώντας το πεντάρι.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 14 φορές

Έστω οι συντεταγμένες των σημείων

και

να είναι $\left(s,g(s)\right)$ και $\left(t, f(t)\right)$ αντίστοιχα και ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

είναι ίσο με

$\displaystyle {\begin{Bmatrix} \sqrt{(t-s)^2 + \left(f(t)-g(s)\right)^2} = a \\\\ f'(t) \cdot \dfrac{f(t)-g(s)}{t-s}=-1 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (t-s)^2 + \left(f(t)-g(s)\right)^2 = a^2 \\\\ f(t)-g(s)=\dfrac{s-t}{f'(t)} \end{Bmatrix}}$

Άρα $(t-s)^2 + \left(\dfrac{s-t}{f'(t)}\right)^2 = a^2\Leftrightarrow s = t \pm \dfrac{a}{\sqrt{ 1+\dfrac{1}{\left(f'(t)\right)^2} }}$

Επομένως

$\displaystyle {f'(t)\left(f(t)-g\left(t\pm \dfrac{a}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\left(f'(t)\right)^2}}}\right)\right)}= \pm \dfrac{a}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\left(f'(t)\right)^2}}}$

[*] Διαλέγοντας τα συν/ή πλην.

Εφαρμόζοντας $f(x) = \dfrac{3}{64}x^2, x>0$ , $g(x) = \dfrac{7}{25}x^2,x>0$ και a = 5

προκύπτει ότι η τελευταία εξίσωση έχει «εμφανή» ρίζα τον αριθμό

και λόγω του σχήματος τελικά το ζητούμενο σημείο

έχει συντεταγμένες $\left(8,3\right)$ $\blacksquare{}$

Κυνηγώντας το πεντάρι

Κυνηγώντας το πεντάρι

Re: Κυνηγώντας το πεντάρι

Μέλη σε σύνδεση