Πιθανότητα διπλασιασμού

KARKAR · #1

: Πιθανότητα διπλασιασμού.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο A(0,1)

, τέμνει τους δύο κλάδους της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

$g(x)=e^{\frac{1}{x}}$ , στα σημεία S , T

. Στην προσπάθειά μας να πετύχουμε να είναι TA=2AS

, επιλέξαμε ως

το σημείο της $C_{g}$ , με τεταγμένη $1+\sqrt{3}$ . Τι λέτε είμαστε εντάξει ;

abgd · #2

Θανάση ακριβώς έτσι είναι.

Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι

$TA=2AS\Leftrightarrow e^{\frac{1}{k}}=1+\sqrt{3}$

Μου διαφεύγει όμως το διασκεδαστικό της άσκησης!

Θα το ξανακοιτάξω.

#3

abgd έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2026 9:47 pm
Μου διαφεύγει όμως το διασκεδαστικό της άσκησης!

Θα συμφωνήσω: Το θέμα δεν έχει κάμια σχέση με Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Είναι παλιά ιστορία, συνεχώς επαναλαμβανόμενη.

Ελάχιστο δείγμα

εδώ (ποστ #2)

εδώ (πόστ #5)

εδώ (πόστ #2)

εδώ (ποστ #2)

εδώ (ποστ #7)

εδώ (ποστ #6)

και σε πολλά ακόμη σημεία. Όπως έχω γράψει πολλές φορές, δεν θα κουραστώ να επισημαίνω σημεία όπου αποπροσανατολίζουμε τους μαθητές μας με προσωπική ερμηνεία, εκεί που τα Μαθηματικά πρέπει να βαδίζουν σε αντκειμενικά μονοπάτια.

abgd · #4

Ας δώσω την απόδειξη...

Αν $T\left(k,e^{\frac{1}{k}\right)$ , τότε

$AT=2AS \Leftrightarrow \overrightarrow{AT}=-2\overrightarrow{AS} \Leftrightarrow$

$S\left(-\dfrac{k}{2},e^{-\frac{2}{k}\right)$

και

$e^{\frac{1}{k}}-1=2\left(1-e^{-\frac{2}{k}\right)... \Leftrightarrow \left(e^{\frac{1}{k}}\right)^2 -2e^{\frac{1}{k}}-2=0 \Leftrightarrow \boxed{e^{\frac{1}{k}}=1+\sqrt{3}}$

KARKAR · #5

Η τοποθέτηση του παρόντος θέματος στον φάκελο : "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" υπήρξε πράγματι ατυχής .

Ας περιγράψω το πως προέκυψε : Δουλεύοντας κάποιο θέμα με τις συναρτήσεις : $f(x)=e^{-x}$ και : $g(x)=e^{\frac{1}{x}}$

χρειάστηκα την ευθεία που διέρχεται από το σημείο A(0,1)

της $C_{f}$ , όπου παρατήρησα ότι πάντα είναι TA>AS

.

Αμέσως μου ήρθε η ιδέα του : $\dfrac{TA}{AS}=2$ . Βλέποντας ότι αυτό συμβαίνει περίπου για : $y_{A}=1+\sqrt{3}$ , θεώρησα

ότι " έκανα την τύχη μου " .

Δοκιμάζοντας όμως τον λόγο : $\dfrac{TA}{AS}$ , το λογισμικό μου έδωσε κάτι πολύ κοντά στο

αλλά όχι ακριβώς .

Φανταστείτε λοιπόν ο λόγος αυτός να ήταν ας πούμε : 2,000032

. Αυτό θα ήταν κατά την δική μου θεώρηση

άκρως διασκεδαστικό . Αλλά "δυστυχώς" τελικά είναι ακριβώς

!

Άσχετα από τα παραπάνω , το θέμα περιέχει ωραίο αλγεβρικό λογισμό και είναι - νομίζω - αρκετά ενδιαφέρον .

#6

Ευχαριστούμε που μοιράστηκες μαζί μας την διαδικασία κατασκευής ενός προβλήματος.

Θα ήθελα όμως ένα σχόλιο για το εξής σημείο:

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2026 11:22 am
Φανταστείτε λοιπόν ο λόγος αυτός να ήταν ας πούμε : . Αυτό θα ήταν κατά την δική μου θεώρηση
άκρως διασκεδαστικό .

.
Σίγουρα θα ήταν διασκεδαστικό, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι εμπίπτει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Το να είναι ένας αριθμός σχεδόν ακέραιος δεν είναι επαρκής αιτία να θεωρηθεί ως Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Κάτι εμπίπτει στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά από το περιεχόμενό του και όχι από μία συμπτωματική ιδιότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου όλοι συμφωνούν ότι κάποιοι σχεδόν ακέραιοι αριθμοί είναι πολύ μακριά από τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τον αριθμό

$\displaystyle{e ^{\pi \sqrt {163}}}$

Αυτός διαφέρει από έναν φυσικό αριθμό κατά λιγότερο από $10 ^ {-12}$ (βλέπε εδώ). Η θεωρία τους προέρχεται από τις σειρές Eisenstein σχετικά με modular Ομάδες (βλέπε εδώ). Τα εν λόγω Μαθηματικά είναι πάρα πολύ δύσκολα και απαιτητικά στον τομέα της Αφηρημένης Άλγεβρας, δηλαδή το άλλο άκρο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Στον αντίποδα.

Πιθανότητα διπλασιασμού

Πιθανότητα διπλασιασμού

Re: Πιθανότητα διπλασιασμού

Re: Πιθανότητα διπλασιασμού

Re: Πιθανότητα διπλασιασμού

Re: Πιθανότητα διπλασιασμού

Re: Πιθανότητα διπλασιασμού

Μέλη σε σύνδεση