Πιθανότερη εξίσωση

KARKAR · #1

: Βρείτε την εξίσωση.png (27.51 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Τα σημεία A , B , C

έχουν ακέραιες συντεταγμένες . Αν ανήκουν σε κύκλο

με κέντρο το O(0,0)

, βρείτε την εξίσωση αυτού του κύκλου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 12, 2026 7:49 am
Βρείτε την εξίσωση.pngΤα σημεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες . Αν ανήκουν σε κύκλο

με κέντρο το , βρείτε την εξίσωση αυτού του κύκλου .

$\boxed{x^2+y^2=325}$

Λύση: Θέτω A(p,q),

άρα

και έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {p^2} + {q^2} = {r^2} \hfill \\ {(p - 1)^2} + {(q + 5)^2} = {r^2} \hfill \\ {(p - 3)^2} + {(q + 9)^2} = {r^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {p^2} + {q^2} = {r^2} \hfill \\ p - 5q = 13 \hfill \\ p - 3b = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} p = 18 \hfill \\ q = 1 \hfill \\ {r^2} = 325 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ απ' όπου προκύπτει η παραπάνω εξίσωση του κύκλου.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 12, 2026 7:49 am
Τα σημεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες . Αν ανήκουν σε κύκλο

με κέντρο το , βρείτε την εξίσωση αυτού του κύκλου .

Καλημέρα...

Τα δοθέντα σημεία είναι:

$\displaystyle{A=(m+3,n-9), \ \ B=(m+2,n-4), \ \ C=(m,n) , \ \ m>0, n>9 }$

Τα σημεία αυτά προφανώς δεν είναι συνευθειακά, άρα ορίζουν έναν κύκλο

τον οποίο εύκολα μπορούμε να βρούμε. Τετοιοι είναι πολλοί.

Ο πιο πιθανός(;) θεωρούμε εκείνον που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και αυτόν

αναζητούμε.

Είναι:

$\displaystyle{m^2+n^2=R^2 \ \ (1) }$

$\displaystyle{(m+2)^2+(n-4)^2=R^2 \ \ (2) }$

$\displaystyle{(m+3)^2+(n-9)^2=R^2 \ \ (3) }$

Από το ανωτέρω σύστημα προκύπτει:

$\displaystyle{m-2n+5=0 \ \ (4) }$

$\displaystyle{m-3n+15=0 \ \ (5) }$

Από τις (4) και (5) βρίσκουμε:

$\displaystyle{m=15, \ \ n=10 }$

Άρα τα σημεία είναι:

$\displaystyle{A=(18,1), \ \ B=(17,6), \ \ C=(15,10) }$

και ο κύκλος είναι αυτός που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

: Ζητούμενος κύκλος 1.png (136.33 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #4

Η αρχική μου σκέψη ήταν να δώσω την άσκηση χωρίς σχήμα , αναφέροντας μόνο ότι τα σημεία A , B , C

έχουν ακέραιες

και θετικές συντεταγμένες . Ποια θα ήταν τότε η πιθανότερη εξίσωση του κύκλου , αν είχε κέντρο το

;

Με αυτή την εκφώνηση η άσκηση θα ταίριαζε περισσότερο στον φάκελο . Όταν όμως έβαλα και το σχήμα , ο κύκλος έγινε
μοναδικός ( και άρα το "πιθανότερος" αποτελεί αστοχία

)

Πιθανότερη εξίσωση

Πιθανότερη εξίσωση

Re: Πιθανότερη εξίσωση

Re: Πιθανότερη εξίσωση

Re: Πιθανότερη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση