Πρόσεχε γιατί πάλι μας λέρωσε το μελάνι

[Mihalis_Lambrou]

.

μελάνι 2.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

.
Η ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του αριθμού , για κάποιο , είναι της μορφής που δείχνει η εικόνα. Οι πρώτοι παράγoντες που εμφανίζονται είναι γραμμένοι σε αύξουσα σειρά. Δυστυχώς έπεσε μελάνι που κάλυψε μερικούς από τους πρώτους παράγοντες και μερικούς από τους εκθέτες. Ποιος είναι ο εκθέτης του ;

[mick7]

Καταρχάς . Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Legendre (*) για , βρίσκω οτι ο εκθέτης είναι .

(*)---> https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_formula

[Mihalis_Lambrou]

Καταρχάς .

.
Όχι, δεν προκύπτει αυτό. Θα μπορούσε για παράδειγμα το να είναι καθώς οι πρώτοι παράγοντες του (που είναι οι και ) εμφανίζονται ΠΡΙΝ τον τελευταίο πρώτο (τον ) στην δοθείσα ανάλυση. Για τον ίδιο λόγο θα μπορούσε να είναι και , του οποίου ο πρώτος παράγοντας (ο ) είναι μικρότερος του .
.

βρίσκω οτι ο εκθέτης είναι .

.
Όχι, η απάντηση δεν είναι αυτή.

Ας προσθέσω ακόμη ότι η άσκηση είναι στον φάκελο Διασκεδαστικά Μαθηματικά, που παραπέμπει στο γεγονός ότι λύνεται με ελαφριά εργαλεία, χωρίς Legendre.

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή.

[mick7]

Μερικες παρατηρσεις μετα την παρέμβαση του κ.Μιχάλη

α)To είναι τουλάχιστον και μικρότερο του (που είναι ο επόμενος πρώτος)

β) Δίνεται οτι ο εκθέτης του είναι . Απο τον τύπο του Legendre σημαίνει οτι



και άρα ο n είναι μεγαλύτερος και ίσος του 52 και μικρότερος του 65.

Συνδύαζοντας τα α) και β) βρίσκουμε οτι το

γ) Κάνοντας χρήση πάλι του τύπου του Legendre βρίσκω για και



Aπο οπου προκύπτει οτι

Αρα ο εκθέτης του είναι ο

[Mihalis_Lambrou]

Ας προσθέσω ακόμη ότι η άσκηση είναι στον φάκελο Διασκεδαστικά Μαθηματικά, που παραπέμπει στο γεγονός ότι λύνεται με ελαφριά εργαλεία, χωρίς Legendre.

.
Γράφω λύση χωρίς Legendre, όπως ταιριάζει στον φάκελο.

Η εμφάνιση του πρώτου στην παραγοντοποίηση δείχνει ότι . Επίσης, αφού ο είναι ο τελευταίος πρώτος που εμφανίζεται, ισχύει διότι ο είναι ο επόμενος πρώτος μετά τον και δεν τον βλέπουμε στην παραγοντοποίηση. Ο εκθέτης στο δείχνει ότι υπάρχουν όροι με παράγοντα το . Οι τρεις από αυτούς προέρχονται, ανά ένας, από τα πολλαπλάσια του που εδώ είναι τα και . Άρα ο τέταρτος προέρχεται αναγκαστικά από το . Έτσι το είναι όρος στο γινόμενο και άρα . Αλλά είδαμε ότι , οπότε τελικά . Έτσι, έχουμε έναν παράγοντα σε κάθε έναν από τους όρους και και μόνον από αυτούς. Έπεται ότι ο εκθέτης του είναι .

[mick7]

Μια που το κράτησα...Η πλήρης παραγοντοποίηση...