Άτοπος

KARKAR · #1

: Άτοπος.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

Σημείο

κινείται στο "ανατολικό" ημικύκλιο του κύκλου (O , 3)

. Σημείο

κινείται στην ευθεία x=6

έτσι ώστε το τμήμα

να έχει μη αρνητική κλίση και μήκος

. Ονομάζουμε

το μέσο του

.

α) Βρείτε την θέση του

ώστε το

να βρεθεί στον x'x

.

β) Βρείτε την θέση του

ώστε το

να βρεθεί όσο ψηλότερα γίνεται .

γ) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 26, 2025 10:22 am
Άτοπος.pngΣημείο κινείται στο "ανατολικό" ημικύκλιο του κύκλου . Σημείο κινείται στην ευθεία

έτσι ώστε το τμήμα να έχει μη αρνητική κλίση και μήκος . Ονομάζουμε το μέσο του .

α) Βρείτε την θέση του ώστε το να βρεθεί στον .

β) Βρείτε την θέση του ώστε το να βρεθεί όσο ψηλότερα γίνεται .

γ) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

Έστω

τυπικό σημείο του ημικυκλείου, όπου a^2+b^2=9

και σε κάθε $a\ge 0$ αντιστοιχούν δύο

, τα $b=\pm \sqrt {9-a^2}$ .

Το

είναι εξ ορισμού η (άνω) τομή του κύκλου (x-a)^2+(y-b)^2=6^2

και της ευθείας x=6

. Συνεπώς, λύνοντας το σύστημα, $T(6,b+\sqrt {b^2+12a-9} )= T(6,\pm \sqrt {9-a^2}+\sqrt {12a-a^2} )$

Άρα το μέσον

του

είναι το $\boxed {M \left ( \dfrac {a+6}{2} ,\, \dfrac {\pm 2 \sqrt {9-a^2}+\sqrt {12a-a^2}}{2} \right )}$

α) Αν θέλουμε το

να είναι στον άξονα των

, δηλαδή η τεταγμένη του να είναι

, λύνουμε την $\pm 2 \sqrt {9-a^2}+\sqrt {12a-a^2}$ . Θα βρούμε a=2

, άρα $b=\sqrt 5$ και $P(2,\,\sqrt 5)$

β) Για το μέγιστο ύψος του

, παραγωγίζουμε. Η παράγωγος έχει αριθμητή $5\sqrt {9-a^2}-2a\sqrt {12a-a^2}$ . Επειδή οδηγεί σε τεταρτοβάθμια, χρησιμοποίησα λογισμικό. Προκύπτει $a\approx 3,77$ με τιμή μεγίστου $\approx 4,58$

γ) Ο τόπος δίνεται παραμετρικά παραπάνω, στο πλαίσιο. Αλλιώς, από την $x=\dfrac {a+6}{2}$ , ισοδύναμα a=2x-6

, παίρνουμε με αντικατάσταση και απλοποιήσεις,

$y= \dfrac {\pm 2 \sqrt {9-a^2}+\sqrt {12a-a^2}}{2} = \pm \sqrt {9-(2x-6)^2}+\sqrt {(x-3)(9-x)}$ (στο σχήμα, η κόκκινη γραμμή είναι το

και η μπλε το

)

Και ένα σχόλιο: Αδυνατώ να καταλάβω τι δουλειά έχει το παραπάνω θέμα στον φάκελο "Διασκεδαστικά Μαθηματικά". Το τι είναι Διασκεδαστικά Μαθηματικά έχει κωδικοποιηθεί άριστα στο Subject Classification της AMS, και την εμβριθή τους γνώση στο θέμα την υιοθετούν οι πάντες.

Με λίγα λόγια, όπως έχω σημειώσει πάμπολλες φορές σε ανάλογη περίσταση, Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι αυτό που ονομάζουμε Recreational Mathematics, με μία τεράστια παράδοση που στον Δυτικό κόσμο ξεκινά με το Liber Abaci (1202) του Fibonacci και με εκπροσώπους όπως τον Prevost, La Première partie des subtiles et plaisantes inventions (1584), τον Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes plaisants et délectables (1624), μετά Ozanam, Sam Loyd, Dudeney, Lewis Caroll, Kraitchik, Smullyan, Gardner, Perelman και μύρια άλλα ονόματα.

Το παραπάνω πρόβλημα είναι καθαρά Μαθηματικό. Καλό είναι να μην αποπροσανατολίζουμε τους αναγνώστες, ιδίως τους μαθητές μας, με πληροφορίες που δεν εστιάζουν με ακρίβεια. Το οφείλουμε ως Δάσκαλοι. Είναι απόλυτο χρέος μας να μεταλαμπαδεύουμε ακριβείς πληροφορίες.

Άτοπος

Άτοπος

Re: Άτοπος

Μέλη σε σύνδεση