Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθούν $p,q,r \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{r}}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Είναι πολύ ενδιαφέρον το γεγονός ότι αληθεύει το ζητούμενο!

ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Θέτουμε $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$ ${\color{red}(*)}$

Ένας λόγος για να σκεφτεί κανείς κάτι τέτοιο είναι το γεγονός ότι υψώνοντας την ${\color{red}(*)}$ κατά μέλη εις τον κύβο,
οι παραστάσεις που προκύπτουν συνεχίζουν να έχουν τη μορφή $A+B\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4}$ ,
όπως έχει η υπόρριζη και το δεξί μέλος στην ${\color{red}(*)}$ , οπότε ελπίζουμε φέρνοντας τα πάντα στο πρώτο μέλος,
το οποίο θα είναι επίσης της ιδίας προαναφερθείσας μορφής, να έχει λύση το $3\times 3$ μη γραμμικό σύστημα
που θα προκύψει ζητώντας οι συντελεστές των $1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}$ να μηδενίζονται...

$\begin{cases} a^3+2b^3+4c^3+12abc+1&=0 \\ 3a^2b+6ac^2+6b^2c-1&=0 \\ 3a^2c+3ab^2+6bc^2 &=0 \end{cases}$

Τωόντι το σύστημα έχει μια "προφανή" λύση
$a=-b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

από την οποία εν τέλει καταλήγουμε στο ζητούμενο. $\blacksquare$

Tolaso J Kos · #3

Γενικότερα ισχύει

$\displaystyle{\sqrt[3]{(m-n)^3+9m^2n-3(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{mn(m+n)}} = \sqrt[3]{m^2(m+n)}-\sqrt[3]{mn^2}-\sqrt[3]{(m+n)^2n}}$
Για m=n=1

προπύπτει η ζητούμενη.

Το παραπάνω είναι αποτέλεσμα είναι του Ramanujan.

Tolaso J Kos · #4

Μία άλλη λύση:

Με διαδοχική χρήση των ταυτοτήτων $a^3+b^3=(a+b) \left( a^2-ab+b^2 \right)$ , $a^3-b^3=\left( a -b \right) \left( a^2+ab+b^2 \right)$ και $\left( a+b \right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ , έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} & = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}} = \sqrt[3]{\frac{3}{3 \left( 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} \right)}} \\ & = \sqrt[3]{\frac{3}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} + 2}} = \sqrt[3]{\frac{3}{\left( 1 + \sqrt[3]{2} \right)^3}} \\ & = \frac{\sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^3}} \\ & = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}}} \\ & = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right)^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \left( \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^2 \\ & = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \end{aligned}}$

#5

.
Και εδώ από παλαιότερη συζήτηση στο φόρουμ μας.

Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Re: Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Re: Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Re: Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Re: Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών

Μέλη σε σύνδεση