Αλλόκοτο πολυώνυμο

ksofsa · #1

Έστω πολυώνυμο στους φυσικούς:

P(a,b,c)=105abc+45ab+35bc+21ca+15b+9a

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι

και για κάθε τέτοιο πρώτο, άπειρες τριάδες (a,b,c)

, ώστε το

να είναι γινόμενο τριών πρώτων αριθμών.

dement · #2

Το πολυώνυμο γράφεται ως (3a+1)(5b+1)(7c+3) - (7c+3)

.

Θέτοντας

οποιονδήποτε από τους (άπειρους, σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα του Dirichlet) πρώτους της μορφής 7c+3

, έχουμε άπειρες επιλογές (πάντα σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα) για τα a, b

έτσι ώστε οι 3a+1, 5b+1

να είναι πρώτοι.

Έτσι, P(a,b,c) + p = (3a+1)(5b+1)(7c+3)

που είναι γινόμενο τριών πρώτων.