Τα γέλια θα σας βγουν ξινά

KARKAR · #1

Α) Βρείτε μια παράγουσα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2}{e^x+1}$

Β) Υπολογίστε τον θετικό

για τον οποίο : $\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)dx=9$

#2

Μια καθόλου διασκεδαστική λύση για το Β

$\displaystyle \begin{array}{l} \int_{ - a}^a {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx = \int_{ - a}^0 {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx + \int_0^a {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx = \\ \\ = \int_{ - a}^0 {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx + \int_0^{ - a} {\frac{{{u^2}}}{{{e^{ - u}} + 1}}} \,( - du) = \int_{ - a}^0 {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx + \int_{ - a}^0 {\frac{{{e^u}{u^2}}}{{{e^u} + 1}}} \,du = \\ \\ = \int_{ - a}^0 {\frac{{({e^x} + 1){x^2}}}{{{e^x} + 1}}} \,dx = \int_{ - a}^0 {{x^2}} \,dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{ - a}^0 = \frac{{{a^3}}}{3} = 9 \Rightarrow {a^3} = 27 \Rightarrow a = 3 \end{array}$

....και μια ημιτελής για το Α
Έστω $\displaystyle F$ μια αρχική της $\displaystyle f$ . Τότε :
$\displaystyle \begin{array}{l} F'(x) = \frac{{{x^2}}}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow F'( - x) = \frac{{{x^2}}}{{{e^{ - x}} + 1}} = \frac{{{x^2}{e^x}}}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow F'(x) + F'( - x) = {x^2} \Rightarrow F(x) - F( - x) = \frac{{{x^3}}}{3} + c\\ x = 0 \Rightarrow c = 0\\ F(x) - F( - x) = \frac{{{x^3}}}{3} \end{array}$

Τα γέλια θα σας βγουν ξινά

Τα γέλια θα σας βγουν ξινά

Re: Τα γέλια θα σας βγουν ξινά

Μέλη σε σύνδεση