Λούφα

KARKAR · #1

: Λούφα.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Τα σημεία S , T

των ημικυκλίων με διαμέτρους

και

είναι συνευθειακά με το κέντρο

.

Για ποια θέση του σημείου

, η μπλε διαδρομή γίνεται ελάχιστη ; ( Πάλι πας να λουφάρεις ; )

#2

Καλημέρα σε όλους. Είναι γνωστό ότι Ο Θανάσης είναι υπέρ της ισότητας. Όλα τα

την ίδια διαδρομή θα κάνουν, αν θέλουν να φτάσουν στο δικό τους

.

: 07-01-2022 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg (24.6 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

$\displaystyle \mathop {AS}\limits^ \cap = 2\rho \varphi ,\;\mathop {BT}\limits^ \cap \; = \rho \cdot \left( {2\varphi } \right)$ άρα $\displaystyle \mathop {ST}\limits^ \cap = \mathop {SB}\limits^ \cap + \mathop {BT}\limits^ \cap = \mathop {SB}\limits^ \cap + \mathop {AS}\limits^ \cap = 2\pi \rho \;\;rad$

#3

: Λούφα.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Αφού δεν υπάρχει ελάχιστη διαδρομή, μπορούμε να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου STB;

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 07, 2022 1:02 pm
Αφού δεν υπάρχει ελάχιστη διαδρομή, μπορούμε να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου

Φέρνουμε την κάθετο

στην

. Tα τρίγωνα $OSA,\, OBT$ είναι ίσα (άμεσο), άρα BT=SC

. Αν

η κοινή αυτή τιμή τότε

$(STB) = (OSB)+(OBT) = \dfrac {1}{2} OB\cdot SC+\dfrac {1}{2} BT\cdot OT = \dfrac {1}{2} rx+\dfrac {1}{2} x\sqrt {r^2-x^2}$

H παράσταση αυτή έχει παράγωγο $\dfrac {1}{2}r + \dfrac {r^2-2x^2}{2\sqrt {r^2-x^2}}$ που εύκολα βλέπουμε ότι μηδενίζεται για $x= \dfrac {\sqrt 3r}{2}$ . Eκεί βλέπουμε ότι έχει μέγιστο, η δε τιμή του μεγίστου είναι $\dfrac {3\sqrt 3 r}{8}$ .

#5

Καλησπέρα σε όλους. Ας το δούμε και κάπως αλλιώς:

: 07-01-2022 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.png (35.1 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Η

τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

μέσο του

.(*)

Οπότε (STB) = 2(MTB)

, το οποίο θα είναι μέγιστο όταν γίνει ισόπλευρο, άρα $\widehat {TMB} = 60^\circ$ , οπότε το τόξο

είναι το ένα τρίτο του ημικυκλίου.

Τότε $\displaystyle TB = \rho \sqrt 3 ,\;\;ST = 3\rho ,\;\;\left( {STB} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {\rho ^2}}}{2}$ , όπου $\displaystyle \rho = {\rm O}{\rm B}$ .

(*) Είναι γνωστό, κλασικό θέμα, νομίζω. Αν νομίζετε ότι χρειάζεται, να δώσω απόδειξη.

Αν πάρουμε την ακτίνα $\displaystyle r = 2\rho$ του μεγάλου κύκλου, θα είναι $\displaystyle \left( {STB} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{8}$ , όπως το αποτέλεσμα του Μιχάλη.

Λούφα

Λούφα

Re: Λούφα

Re: Λούφα

Re: Λούφα

Re: Λούφα

Μέλη σε σύνδεση