Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Πρωτομαγιά! Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής κατασκευής οπότε δικαίως ..αμφιβάλλετε.

Σε μια πόλη εκτιμάται ότι το

% του πληθυσμού της έχει αποκτήσει ανοσία (αντισώματα) κατά του νέου ιού.

Το τελευταίο τεστ ανίχνευσης αντισωμάτων που ήρθε στην πόλη θεωρείται ότι έχει τις εξής ατέλειες:

Ι) Σε ποσοστό

% αυτών που έχουν ανοσία δείχνει λαθεμένα ότι δεν έχουν.

ΙΙ) Σε ποσοστό

% αυτών που δεν έχουν ανοσία ψευδώς δείχνει ότι υπάρχει ανοσία.

Ο Ρενέ (τυχαίο άτομο της πόλης) έκανε το τεστ αυτό και έδειξε ότι υπάρχει ανοσία.

Αυτός όμως αμφιβάλλει , θεωρώντας πιθανότερο το να μην έχει ανοσία.

Λαμβάνοντας ως δεδομένα τα ως άνω ποσοστά , ποια είναι η πιθανότητα να έχει αποκτήσει ο Ρενέ την επιθυμητή ανοσία;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλό μήνα σε όλους!
Έστω

το σύνολο των ανθρώπων της πόλης και B,C

τα σύνολα αυτών που έχουν και δεν έχουν ανοσία αντίστοιχα.

Έχουμε: $N(B)=\dfrac{2}{100}\cdot N(A)$ , $N(C)=\dfrac{98}{100}\cdot N(a)$
Το τεστ έδειξε πως ο Ρενέ έχει ανοσία, οπότε θα ανήκει είτε στο

% αυτών που αληθώς έχουν ανοσία και το τεστ συμφωνεί, είτε στο

% αυτών που δεν έχουν ανοσία και το τεστ διαφωνεί.
Άν

το σύνολο των ανθρώπων για τους οποίου το τεστ δείχνει πως έχουν ανοσία, θα είναι:
$N(D)=\dfrac{90}{100}\cdot N(B)+\dfrac{5}{100}\cdot N(C)=\dfrac{90}{100}\cdot\dfrac{2}{100}\cdot N(A)+\dfrac{5}{100}\cdot \dfrac{98}{100}\cdot N(A)=\dfrac{67}{1000}\cdot N(A)$ , έτσι αν P(R)

είναι
η πιθανότητα ο Ρενέ να έχει ανοσία (δηλαδή να ανήκει στο

% αυτών που έχουν ανοσία και το τεστ συμφωνεί), θα είναι $P(R)=\dfrac{0,018}{0,067}\simeq26,86$ %, δηλαδή ο Ρενέ δικαίως αμφιβάλλει!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 1:34 pm
Καλό μήνα σε όλους!
Έστω το σύνολο των ανθρώπων της πόλης και τα σύνολα αυτών που έχουν και δεν έχουν ανοσία αντίστοιχα.

Έχουμε: $N(B)=\dfrac{2}{100}\cdot N(A)$ , $N(C)=\dfrac{98}{100}\cdot N(a)$
Το τεστ έδειξε πως ο Ρενέ έχει ανοσία, οπότε θα ανήκει είτε στο % αυτών που αληθώς έχουν ανοσία και το τεστ συμφωνεί, είτε στο % αυτών που δεν έχουν ανοσία και το τεστ διαφωνεί.
Άν το σύνολο των ανθρώπων για τους οποίου το τεστ δείχνει πως έχουν ανοσία, θα είναι:
$N(D)=\dfrac{90}{100}\cdot N(B)+\dfrac{5}{100}\cdot N(C)=\dfrac{90}{100}\cdot\dfrac{2}{100}\cdot N(A)+\dfrac{5}{100}\cdot \dfrac{98}{100}\cdot N(A)=\dfrac{67}{1000}\cdot N(A)$ , έτσι αν είναι
η πιθανότητα ο Ρενέ να έχει ανοσία (δηλαδή να ανήκει στο % αυτών που έχουν ανοσία και το τεστ συμφωνεί), θα είναι $P(R)=\dfrac{0,018}{0,067}\simeq26,86$ %, δηλαδή ο Ρενέ δικαίως αμφιβάλλει!

Καλό μήνα.
Η άσκηση είναι κλασσική και βρίσκεται σε όλα τα Πανεπιστημιακά βιβλία Πιθανοτήτων.
ΜΠΡΑΒΟ στον Θεοδόση που την έκανε με στοιχειώδει μέσα.

Η λύση που προτείνεται είναι μέσω του τύπου του Bayes
και την ολική πιθανότητα.
Αν λοιπόν

είναι το ενδεχόμενο να έχει ανοσία και

δείχνει το τέστ ότι έχει
τότε

P(E)=P(E/A)P(A)+P(E/A')P(A')

(τύπος ολικής πιθανότητας)
και
$P(A/E)=\dfrac{P(E/A).P(A)}{P(E)}$ (τύπος του Bayes)

οπου

είναι το συμπληρωματικό του

και

είναι η πιθανότητα να συμβεί το

εχοντας δεδομένο ότι έχει συμβεί το

Συμπλήρωμα.
Εδωσα ΜΠΡΑΒΟ στον Πρόδρομο αντί για τον Θεοδόση που έκανε την λύση.
Βέβαια και στον Πρόδρομο αξίζουν ΜΠΡΑΒΟ για τις ωραίες λύσεις που ανεβάζει.
Και φυσικά και σε όλα τα ''παιδιά '' που ανεβάζουν λύσεις,
και δείχνουν ότι δεν έχουν τίποτα να ζηλέψουν από τους ''μεγάλους''.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Ακόμη ένα εύγε στον Θεοδόση για την ωραία λύση, ευχαριστώ βεβαίως και τον Σταύρο!
Ας δούμε μια ακόμη στοιχειώδη μορφή της (ίδιας ουσιαστικά) λύσης με πίνακα

: Ο Ρενέ δικαίως αμφιβάλλει!.PNG (14.77 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές

Έστω

όλος ο πληθυσμός της πόλης . Τότε τα $\dfrac{2}{100}\cdot 10.000=200$ άτομα έχουν ανοσία και τα 9.800

όχι.

Αν κάνουν όλοι το τεστ θα βγει θετικό, δηλ θα δείχνει ανοσία για τους $\dfrac{90}{100}\cdot 200=180$ που έχουν πράγματι

αλλά και (εσφαλμένα θετικό) για τους $\dfrac{5}{100}\cdot 9800=490$ που δεν έχουν.

Το τεστ λέει για τον Ρενέ ότι είναι ένας από τους 180+490=670

. Για έχει ανοσία πρέπει να είναι ένας από τους 180

με πιθανότητα $\dfrac{180}{670}=\dfrac{18}{67}$ δηλαδή κάτι λιγότερο από

%.

Το έρεισμα για την δημιουργία του παρόντος ήταν η άσκηση 7 Β' ομάδας του σχολικού τελευταία στην παράγραφο 3.4
Προσωπικής επινόησης είναι τα νούμερα και το "σενάριο" που δεν έχει προφανώς σχέση με την πραγματικότητα.

Να πω τέλος για το όνομα ότι είναι από πρόσωπο άλλης εποχής , τον Rene Descartes (1596-1650)
Μαθηματικός και " ο Φιλόσοφος της αμφιβολίας" όπως ενίοτε αποκαλείται.

Φιλικά, Γιώργος.

Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Re: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Re: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Re: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Μέλη σε σύνδεση