Κάτω απ' το αυλάκι

KARKAR · #1

: Κάτω απ' το αυλάκι.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

Το ημικύκλιο χωρίστηκε σε δύο περιοχές . Ποια έχει μεγαλύτερο εμβαδόν ; ( Πράσινο αυλάκι ) .

Nikitas K. · #2

$\displaystyle{\int_{-5}^{4} \sqrt{x+5}\, dx+\int_{4}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx ~ R ~ \dfrac{\dfrac{\pi\cdot 5^2}{2}}{2}}$
Αν R = ~>

τότε το κάτω μέρος καταλαμβάνει περισσότερο εμβαδόν, αλλιώς αν R =~ <

τότε το πάνω μέρος καταλαμβάνει περισσότερο εμβαδόν.

: Graph_2025-03-05_16-23-26 (1).png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

#3

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 05, 2025 4:47 pm
$\displaystyle{\int_{-5}^{4} \sqrt{x+5}\, dx+\int_{4}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx ~ R ~ \dfrac{\dfrac{\pi\cdot 5^2}{2}}{2}}$
Αν τότε το κάτω μέρος καταλαμβάνει περισσότερο εμβαδόν, αλλιώς αν τότε το πάνω μέρος καταλαμβάνει περισσότερο εμβαδόν.

Νικήτα, για ξαναδές τα αυτά. Πρώτα απ' όλα δεν υπάρχει

στο πρόβλημα. Η αναμενόμενη απάντηση είναι της μορφής "το πάνω μέρος έχει _____τερο εμβαδόν από το κάτω".

Αν και ξέρω την απάντηση, δεν γράφω αν η λέξη που λείπει είναι η "μεγαλύτερο" ή "μικρότερο" για να έχεις την χαρά να την βρεις μόνος σου. Φυσικά πρέπει να την αιτιολογήσεις.

Nikitas K. · #4

$\displaystyle {\int_{-5}^{4} \sqrt{x+5} \, dx =\overset{u=x+5}{=} \int_{0}^{9} \sqrt{u} \, dx = \left[ \dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{9} = 18}$

$\displaystyle {\int_{4}^{5} \sqrt{25-x^2}\,dx}$

Για να υπολογίσουμε αυτό το ορισμένο ολοκλήρωμα πρώτα θα βρούμε το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμά του:

: image.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Θέτουμε $\sin\theta = \dfrac{x}{5}\Leftrightarrow x = 5\sin\theta\Rightarrow dx = 5\cos\theta\,d\theta$

$\displaystyle {\int \sqrt{25-x^2}\,dx = \int \sqrt{25-(5\sin\theta)^2}\, 5\cos\theta\,d\theta = 25 \int \cos^2\theta\, d\theta}$

Ισχύει:
$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{\cos(2x)+1}{2}$

Συνεχίζουμε την επίλυση του αόριστου ολοκληρώματος αντικαθιστώντας κατάλληλα την τελευταία ισότητα:

$\displaystyle {25 \int \dfrac{\cos(2\theta)+1}{2} \, d\theta = \dfrac{25}{2} \int \left( \cos(2\theta)+1 \right)\,d\theta = \dfrac{25}{2} \left(\dfrac{\sin(2\theta)}{2}+\theta\right) + c = \dfrac{25}{2} \left(\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{2}+\theta\right) + c$
$=\dfrac{25}{2} \left(\dfrac{2\cdot \dfrac{x}{5}\dfrac{\sqrt{25-x^2}}{5}}{2}+\arcsin\left(\dfrac{x}{5}\right)\right) + c = \dfrac{x\sqrt{25-x^2}}{2} + \dfrac{25\arcsin\left(\dfrac{x}{5}\right)}{2}+c}$

Άρα,
$\displaystyle { \int_{4}^{5} \sqrt{25-x^2}\, dχ = \left[ \dfrac{x\sqrt{25-x^2}}{2} + \dfrac{25\arcsin\left(\dfrac{x}{5}\right)}{2} \right]_{4}^{5} = \dfrac{25\pi}{4} - 6 -\dfrac{25}{2}\arcsin\left(\dfrac{4}{5}\right) }$

Επιπλέον ισχύει:
$\displaystyle{ \sin\left(\dfrac{24}{25}\right) = \sum _{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\dfrac{24}{25}\right)^{2n+1} >\dfrac{24}{25} - \dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6} }$

και

$\dfrac{24}{25} - \dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6} > \dfrac{4}{5}\Leftrightarrow 24 - 25\dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6}>20\Leftrightarrow -25\dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6}>-4\Leftrightarrow 25\left(\dfrac{24}{25}\right)^3<24$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{24}{25}\right)^3 < \dfrac{24}{25}\Leftrightarrow \left(\dfrac{24}{25}\right)^2 < 1\Leftrightarrow \dfrac{24}{25}<1$

Άρα λόγω της μεταβατικής ιδιότητας ισχύει $\sin\left(\dfrac{24}{25}\right) > \dfrac{4}{5}$

Και επειδή:

$\displaystyle { \int_{-5}^{4} \sqrt{x+5}\, dx + \int_{4}^{5} \sqrt{25-x^2}\, dx > \dfrac{\dfrac{\pi \cdot 5^2}{2}}{2} \Leftrightarrow 18 + \dfrac{25\pi}{4} - 6 -\dfrac{25}{2}\arcsin\left(\dfrac{4}{5}\right) > \dfrac{25\pi}{4} }$

$\displaystyle { \Leftrightarrow 12-\dfrac{25}{2}\arcsin\left(\dfrac{4}{5}\right) > 0 \Leftrightarrow \arcsin\left(\dfrac{4}{5}\right) < \dfrac{24}{25}\Leftrightarrow \sin\left(\dfrac{24}{25}\right) > \dfrac{4}{5}$

Συμπεραίνουμε:

$\displaystyle { \int_{-5}^{4} \sqrt{x+5}\, dx + \int_{4}^{5} \sqrt{25-x^2}\, dx > \dfrac{\dfrac{\pi \cdot 5^2}{2}}{2} }$

Επομένως, η κάτω περιοχή καταλαμβάνει περισσότερο εμβαδόν από την πάνω περιοχή.

#5

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 05, 2025 8:12 pm
$\displaystyle { \sin\left(\dfrac{24}{25}\right) > \dfrac{4}{5}\Rightarrow \dfrac{24}{25} - \dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6} > \dfrac{4}{5}$

Νικήτα, για ξαναδές το αυτό και εξήγησε γιατί σε αυτό το βήμα η απόδειξή σου έχει ένα λογικό σφάλμα.

Ευτυχώς διορθώνεται αλλά θα περιμένουμε να δούμε αν αντιλαμβάνεσαι πού είναι το σφάλμα και πώς θα το διορθώσεις.

Nikitas K. · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 05, 2025 9:14 pm

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 05, 2025 8:12 pm
$\displaystyle { \sin\left(\dfrac{24}{25}\right) > \dfrac{4}{5}\Rightarrow \dfrac{24}{25} - \dfrac{\left(\dfrac{24}{25}\right)^3}{6} > \dfrac{4}{5}$
Νικήτα, για ξαναδές το αυτό και εξήγησε γιατί σε αυτό το βήμα η απόδειξή σου έχει ένα λογικό σφάλμα.

Ευτυχώς διορθώνεται αλλά θα περιμένουμε να δούμε αν αντιλαμβάνεσαι πού είναι το σφάλμα και πώς θα το διορθώσεις.

Στην υπόθεση της συνεπαγωγής χρησιμοποιήσα μια ανίσωση άγνωστης εγκυρότητας που μάλιστα ήταν το ίδιο το ζητούμενο! Για να συμπεράνω μια ανίσωση που δεν ζητήθηκε! Αλλά και που είχε αυτοεπεξηγηματική εγκυρότητα.

Κυρίως έπρεπε να δείξω την αντίστροφη συνεπαγωγή, όπως το διορθώσα στο προηγούμενό μου ποστ, ώστε μέσω της μεταβατικής ιδιότητας να επαληθεύεται η ορθότητα της ανίσωσης $\sin\left(\dfrac{24}{25}\right) > \dfrac{4}{5}$

Σας ευχαριστώ που επιμελείστε του

!...

KARKAR · #7

: μισό τμήμα.png (39.84 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Άλλη προσέγγιση (υπόδειξη) : Αρκεί το μαυριδερό κυκλικό τμήμα να έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του $5\pi-12$ ...

Κάτω απ' το αυλάκι

Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Re: Κάτω απ' το αυλάκι

Μέλη σε σύνδεση