Πονηρό ελάχιστο

KARKAR · #1

Βρείτε με "καλή" προσέγγιση την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{2e^x}{x^2-4} , x>2$ .

nickolas tsik · #2

Καλησπέρα,με επιφύλαξη:

$f(x)\frac{2e^x}{x^2-4}$
Βρίσκουμε τα κρισιμα σημεία της

$\frac{d}{dx}\frac{2e^x}{x^2-4}=2(\frac{d}{dx})(\frac{e^x}{-4+x^2})$
$\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{(\frac{-dv}{dx}u+\frac{-du}{dx}v)}{v^2} ,e^x=u,x^2-4=v$
$=2(\frac{-4x^2(\frac{d}{dx}e^x)-e^x(\frac{d}{dx}(-4+x^2)))}{(-4+x^2)^2}$
με chain rule: $=\frac{2(-e^x(\frac{d}{dx}(-4+x^2)+(-4+x^2)e^x(\frac{d}{dx}x)}{(-4+x^2)^2}$
με λιγες πράξεις έχουμε $\frac{2(e^x(-4+x^2))-e^x(\frac{d}{dx}x^2)}{(-4+x^2)^2}$
με κανονα δυναμεων εχουμε $\frac{2(e^x(-4+x^2)-2x(e^x)}{(-4+x^2)^2}=-\frac{4e^xx}{(-4+x^2)^2}+\frac{2e^x}{-4+x^2}$
πρέπει
$\frac{2(e^x(-4+x^2)-2x(e^x)}{(-4+x^2)^2}=-\frac{4e^xx}{(-4+x^2)^2}+\frac{2e^x}{-4+x^2}=0$
$=> \frac{2e^x(x^2-x-4)}{(x-2)^2(x+2)^2}=0,x>2$
$\Rightarrow x=1+$ \sqrt5 $,x>2 and e^x=0,x=\varnothing$
Παρατήρουμε οτι η συνάρτηση δεν ειναι συνεχης οταν : x=2 or x=-2

Επίσης $\left \{ x\epsilon \mathbb{R}:x>2 \right \}x=2,x=\infty τα τελικά σημεία
Αρα η συνάρτηση δεν εχει μέγιστο.

Εφαρμοζουμε f(1+\sqrt5) και το ζητουμενο επεται

Pi3.1415 · #3

$f'(x)=\frac{2e^x*(x^2-2x-4)}{(x^2-4)^2}$
Πρέπει f'(x)=0

, άρα

. Καθώς το 2e^x

δεν μηδενίζει για οποιαδήποτε τιμή του χ, πρέπει x^2-2x-4=0

Με διακρίνουσα βρίσκουμε πως οι λύσεις είναι $1-\sqrt{5}$ και $1+\sqrt{5}$ , όμως αφού x>2

, το ελάχιστο προκύπτει όταν $x=1+\sqrt{5}$ . Τώρα αρκεί να προσσεγγίσουμε το $f(1+\sqrt{5})=\frac{e^{1+\sqrt{5}}}{1+{\sqrt{5}}}$ . Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Στιρλινγκ, όμως η ακρίβεια δεν θα είναι μεγάλη.

#4

KARKAR · #5

Πρόκειται ασφαλώς για τον αριθμό : $\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}$ , του οποίου μία εξαιρετική

προσέγγιση είναι ο αριθμός : $\dfrac{5\pi}{2}$ . Πράγματι ( με πέντε δεκαδικά ) :

$\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}=7.85939 , \dfrac{9e^3}{23}=7.85956 , \dfrac{5\pi}{2}=7.85398$ .

Η προτεινόμενη παράγει την : $e^{2\phi}\simeq 5\pi\phi$ , ( μια ακόμη προσπάθεια

σύνδεσης των μυθικών αριθμών : $\pi , e , \phi$ ) .

Pi3.1415 · #6

Το $\frac{9e^3}{23}$ πως προέκυψε;

Πονηρό ελάχιστο

Πονηρό ελάχιστο

Re: Πονηρό ελάχιστο

Re: Πονηρό ελάχιστο

Re: Πονηρό ελάχιστο

Re: Πονηρό ελάχιστο

Re: Πονηρό ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση