Ζεύγη Ακέραιων

mick7 · #1

Πόσα ζεύγη ακέραιων (a,b)

ικανοποιούν την

a^2+b^2=2(a+b)+ab

Ανδρέας Πούλος · #2

Η δεδομένη σχέση γράφεται:
a^2 + b^2 -2a -2b -ab - 0

.

Τώρα τα πράγματα είναι απλά, ψάχνουμε τρία τέλεια τετράγωνα (ακεραίων) που έχουν άθροισμα 8.
Οι περιπτώσεις είναι το 0 ή το 4, το 1 αν και είναι τέλειο τετράγωνο απορρίπτεται για προφανείς λόγους.
Άρα, οι δυάδες (a, b)

είναι τέσσερεις.
(0, 0) , (2, 4) , (4, 2) , (4, 4)

mick7 · #3

Μια οπτική βοήθεια

#4

Καλημέρα σε όλους. Μια διαφορετική προσέγγιση:

Έστω ότι υπάρχουν ακέραιοι a, b

που ικανοποιούν την (1).

Τότε $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 2(a + b) + ab \Leftrightarrow {a^2} - \left( {b + 2} \right)a + {b^2} - 2b = 0$

Για να έχει λύσεις η Β’ βάθμια ως προς

αρκεί:

$\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} - 4{b^2} + 8b \ge 0 \Leftrightarrow - 3{b^2} + 12b + 4 \ge 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2 - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \le b \le 2 + \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$ , οπότε $\displaystyle b = 0,\;1,\;2,\;3,\;4$

Για b=0

, $\displaystyle {a^2} - 2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\; \vee \;a = 2$

Για b=1

,

, δίχως ακέραιες λύσεις.

Για b=2

, $\displaystyle {a^2} - 4a = 0 \Leftrightarrow a = 0\;\; \vee a = 4$

Για b=3

, $\displaystyle {a^2} - 5a + 3 = 0$ , , δίχως ακέραιες λύσεις.

Για b=4

, $\displaystyle {a^2} - 6a + 8 = 0 \Leftrightarrow a = 4\; \vee \;a = 2$

Ανδρέας Πούλος · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 08, 2022 11:48 am
Η δεδομένη σχέση γράφεται:
.
.

Τώρα τα πράγματα είναι απλά, ψάχνουμε τρία τέλεια τετράγωνα (ακεραίων) που έχουν άθροισμα 8.
Οι περιπτώσεις είναι το 0 ή το 4, το 1 αν και είναι τέλειο τετράγωνο απορρίπτεται για προφανείς λόγους.
Άρα, οι δυάδες είναι έξι.

Σημείωση: Διόρθωσα τον αριθμό των λύσεων, σύμφωνα με την υπόδειξη του Mick7 και του Γιώργου Ρϊζου.

Ζεύγη Ακέραιων

Ζεύγη Ακέραιων

Re: Ζεύγη Ακέραιων

Re: Ζεύγη Ακέραιων

Re: Ζεύγη Ακέραιων

Re: Ζεύγη Ακέραιων

Μέλη σε σύνδεση