Από κει και πάνω

KARKAR · #1

Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασης : $\dfrac{1+\cos^3x}{1+\cos 3x}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 7:41 pm
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασης : $\dfrac{1+\cos^3x}{1+\cos 3x}$ ;

Eκεί που ορίζεται

$\dfrac{1+\cos^3x}{1+\cos 3x} = \dfrac{1+\cos^3x}{1+4\cos ^3 x-3\cos x }= \dfrac{(1+\cos x)(1-\cos x + \cos ^2x )}{(1+\cos x) (1-2\cos x)^2 }=$

$= \dfrac{1-\cos x + \cos ^2x }{(1-2\cos x)^2 }=\dfrac {1}{4} + \dfrac {3}{4} \cdot \dfrac {1}{(1-2\cos x)^2}$

Αλλά $(1-2\cos x)^2 \le (1+2) ^2=9$ από όπου το ζητούμενο ελάχιστο είναι $\dfrac {1}{4} + \dfrac {3}{4}\cdot \dfrac {1}{9}= \dfrac {1}{3}$

kfd · #3

Για τα χ με cosx=-1 ορίζεται;

#4

kfd έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 17, 2022 11:52 pm
Για τα χ με cosx=-1 ορίζεται;

Έχεις δίκιο, εκεί δεν ορίζεται. Όμως εκεί η συνάρτηση έχει όριο όπως π.χ. φαίνεται μεταξύ της δεύτερης και τρίτης ισότητας όπου ο κακός όρος $1+\cos x$ απλοποιείται.

Συνοψίζοντας, η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο (μας έβαλε τρικλοποδιά ο Θανάσης) αλλά έχει infimum, αυτό που έγραψα.

Από κει και πάνω

Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Μέλη σε σύνδεση