Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $x^2\cdot3^{x^2-2x}=3^3(2x+3)$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:37 am
Να λυθεί η εξίσωση : $x^2\cdot3^{x^2-2x}=3^3(2x+3)$

: Εξίσωση.Κ.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

$\displaystyle {x^2} - 2x - 3 = 0,$ αφού τότε $\displaystyle \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}} = 1.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:37 am
Να λυθεί η εξίσωση : $x^2\cdot3^{x^2-2x}=3^3(2x+3)$

H εξίσωση γράφεται $x^2 \cdot 3^{x^2}=(2x+3)3^{2x+3}$ , οπότε αντιλαμβανόμαστε ότι παίζει ρόλο η $f(t)=t\cdot 3^t$ .

α) ${\color {red}{x < 0}$

Το αριστερό μέλος είναι πάντα θετικό ενώ το δεξί είναι αρνητικό αν $x\le -\dfrac {3}{2}$ και θετικό αλλιώς. Αρα μπορούμε να αγνοήσουμε τα $x\le -\dfrac {3}{2}$ .

Με παραγώγιση βλέπουμε ότι η $(2x+3)3^{2x+3}$ είναι γνήσια φθίνουσα πριν από το $-\dfrac {1}{2} \left ( 3+ \frac{1}{\ln 3} \right ) \approx -1,95}$ και γνήσια αύξουσα, μετά. Άρα για τα $-\dfrac {3}{2}\le x <0$ που μας ενδιαφέρουν, η $(2x+3)3^{2x+3}$ είναι γνήσια αύξουσα. Από την άλλη η $x^2 \cdot 3^{x^2}$ είναι γνήσια φθίνουσα (αρνητική παράγωγος: άμεσο). Άρα η εξίσωση $x^2 \cdot 3^{x^2}=(2x+3)3^{2x+3}$ για x<0

έχει το πολύ μία ρίζα. Με το μάτι βλέπουμε (αλλά αργότερα θα το δούμε και αλλιώς) ότι η $\boxed {x=-1}$ είναι (η μοναδική) ρίζα.

β) $\color {red}{x \ge 0}$ .

Εδώ η f(t) = te^t

είναι γνήσια αύξουσα, άρα 1-1

. Συνεπώς η εξίσωση $x^2 \cdot 3^{x^2}=(2x+3)3^{2x+3}$ , ισοδύναμα f(x^2)=f(2x+3)

έχει ρίζες ακριβώς όταν x^2=2x+3

, δηλαδή $\boxed {x=3}$ (δεκτή) ή x=-1

(απορρίπτεται ως αρνητική αλλά είναι η ρίζα που βρήκαμε με το μάτι όταν εξετάζαμε τους αρνητικούς).

KARKAR · #4

Ας αλλάξουμε - για λίγο - την εκφώνηση :

Να λυθεί η εξίσωση : $x^2\cdot e^{x^2-2x}=e^3(2x+3)$

Η εξίσωση γράφεται : $x^2\cdot e^{x^2-2x-3}=2x+3$

Προφανώς : $x\neq 0$ και : 2x+3>0

. Διαδοχικά έχω :

$e^{x^2-2x-3}=\dfrac{2x+3}{x^2}$ και λογαριθμίζοντας :

x^2-2x-3=ln(2x+3)-ln(x^2)

. Η μονοτονία της : f(t)=t+lnt

οδηγεί στην : x^2=2x+3

, με ρίζες τις : x=-1 , x=3

( δεκτές ) .

Για την αρχική αντί για lnx

, πάρτε : $log_{3}x$ . Αυτή είναι εκτός σχολικής χρήσης

και αυτός είναι ο λόγος που έβαλα το θέμα σ' αυτόν τον φάκελο

Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

Re: Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

Re: Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

Re: Εξίσωση με ( x , 2 και 3 ) επί 4

Μέλη σε σύνδεση