9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

#1

Μου το ανέφερε φίλος σε τυχαία συνάντηση στον δρόμο και μου άρεσε:

Να βρεθούν όλοι οι εννεαψήφιοι αριθμοί που έχουν εννέα διαφορετικά μεταξύ τους μη μηδενικά ψηφία $\psi_1$ , ... , $\psi_9$ και ικανοποιούν τις διαιρετότητες $k|\psi_1...\psi_k$ για k=1, ... , 9

. [Η πρώτη και η τελευταία διαιρετότητα ισχύουν τετριμμένα.]

#2

Μετά από πάρα πολύ περιπτωσιολογία που δεν τολμώ να πληκτρολογήσω κατέληξα στο ότι
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.
Μερικά ψηφία είναι εύκολο να τα προσδιορίσουμε (π.χ. $\psi _5=5$ ) ή να τα περιορίσουμε (π.χ. τα $\psi _2, \, \psi _4,\, \psi _6,\, \psi _8$ είναι άρτιοι). Με χρήση των κριτηρίων διαιρετότητας με τα $4,\, 8$ μικραίνουμε το πλήθος των υποψήφιων. Για το $\psi _7$ έπεσε κομποιουτεράκι αλλά με λελογισμένη χρήση.
.
Έκανα τις πράξεις δύο φορές για να βεβαιωθώ ότι η πιθανότητα σφάλματος είναι μικρή, και τέλος κατέληξα στο παραπάνω συμπέρασμα. Ο αριθμός που δίνω είναι σίγουρα σωστός και είμαι σχεδόν βέβαιος ότι
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μιχάλη συμφωνώ με τις διαπιστώσεις σου. Στην δική μου προσέγγιση οι διαιρετότητες δια 4 και δια 8 περιορίζουν κατ' αρχήν τους πιθανούς υποψήφιους εννεαψήφιους σε 46 ('ρίζες'), και ακολούθως οι διαιρετότητες δια 6 και δια 3 σε 10 ... οπότε στο τέλος η διαιρετότητα δια 7 μας οδηγεί σε έναν και μόνον αριθμό. (Θα περιμένω 1-2 μέρες -- μήπως εμφανισθεί και κάποια άλλη ιδέα -- και ύστερα θα αναρτήσω έναν σχετικό πίνακα που έφτιαξα.)

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2019 9:17 am
Μιχάλη συμφωνώ με τις διαπιστώσεις σου. Στην δική μου προσέγγιση οι διαιρετότητες δια 4 και δια 8 περιορίζουν κατ' αρχήν τους πιθανούς υποψήφιους εννεαψήφιους σε 46 ('ρίζες'), και ακολούθως οι διαιρετότητες δια 6 και δια 3 σε 10 ... οπότε στο τέλος η διαιρετότητα δια 7 μας οδηγεί σε έναν και μόνον αριθμό. (Θα περιμένω 1-2 μέρες -- μήπως εμφανισθεί και κάποια άλλη ιδέα -- και ύστερα θα αναρτήσω έναν σχετικό πίνακα που έφτιαξα.)

Στο συνημμένο ο πίνακας επίλυσης (κατάλληλος ακόμη και για 'χωρίς λόγια' παρουσίαση*):

(Ι) οι διαιρετότητες $4|\psi_1\psi_2\psi_3\psi_4$ και $8|\psi_1\psi_2\psi_3\psi_4\psi_5\psi_6\psi_7\psi_8$ οδηγούν στις διαιρετότητες $4|\psi_3\psi_4$ και $8|\psi_7\psi_8$ , οι οποίες επιτρέπουν

ακριβώς συνδυασμούς και 'ρίζες' πιθανών εννεαψήφιων λύσεων [απεικονίζονται με μαύρο χρώμα]

(ΙΙ) οι διαιρετότητες $6|\psi_1\psi_2\psi_3\psi_4\psi_5\psi_6$ και $3|\psi_1\psi_2\psi_3$ οδηγούν στις διαιρετότητες $3|\psi_4\psi_5\psi_6$ και $2|\psi_6$ : μαζί με την προφανή εξ αρχής $\psi_5=5$ ΚΑΙ το γνωστό σε κάθε μία από τις

'ρίζες' $\psi_4$ , οι διαιρετότητες αυτές επιτρέπουν μία το πολύ επιλογή για το $\psi_6$ , περιορίζοντας τον αριθμό των πιθανών ριζών σε

[απεικονίζονται με την προσθήκη μπλε ψηφίου στην έκτη θέση]

(ΙΙΙ) η διαιρετότητα $2|\psi_2$ περιορίζει περαιτέρω τον αριθμό των πιθανών 'ριζών' σε

, καθώς τα ήδη υπάρχοντα άρτια ψηφία επιτρέπουν το πολύ ένα άρτιο ψηφίο στην δεύτερη θέση [απεικονίζεται με πράσινο χρώμα]

(IV) η διαιρετότητα $3|\psi_1\psi_2\psi_3$ , με ήδη γνωστά τα $\psi_2$ και $\psi_3$ , καθορίζει το πρώτο ΚΑΙ το τελευταίο ψηφίο στις

εναπομένουσες ρίζες, επιτρέποντας μία επιλογή σε

από αυτές και διπλή επιλογή σε

από αυτές [απεικονίζονται με πορτοκαλί χρώμα]

(V) από τους

συνολικά υποψήφιους εννεαψήφιους ( 981654327

,

&

,

&

,

, ένας και μόνον ικανοποιεί ΚΑΙ την έσχατη διαιρετότητα $7|\psi_1\psi_2\psi_3\psi_4\psi_5\psi_6\psi_7$ , ο 381654729

.

*θεωρώ ότι το πρόβλημα αυτό είναι διδακτικότατο -- καθώς δείχνει ότι συχνά μπορούμε να λύσουμε ένα πρόβλημα απλώς με σωστή οργάνωση και χωρίς κανένα βαρύ εργαλείο ή/και καμιά φαεινή ιδέα -- και κατάλληλο για παρουσίαση σε μαθητές διαφόρων βαθμίδων αλλά και σε γενικότερο κοινό^ θα μπορούσε επίσης να δοθεί μόνον ο πίνακας (με ή χωρίς την 'σειρά διαδοχής' χρωμάτων και επεξήγησης αυτών σε (I)-(IV)) και να ζητηθεί η κατανόηση της διαδικασίας επίλυσης.

: ΕΝΝΕΑ.png (207.82 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Re: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Re: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Re: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Μέλη σε σύνδεση