Πολυτετράγωνη εξίσωση

KARKAR · #1

: Πολυτετράγωνη εξίσωση.png (9.58 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Παραθέτουμε $\nu$ τετράγωνα και φέρουμε μια "υπερδιαγώνιο" που τα πιάνει όλα

και μια δεύτερη που δεν πιάνει το τελευταίο .

α) Διασκέδαση : Πόσα τουλάχιστον τετράγωνα πρέπει να πάρω ώστε η γωνία $\phi$ να κατέβει τις 15^0

;

β) Προβληματισμός : Σε ποιο τετράγωνο βρίσκεται το σημείο τομής

, αυτών των διαγωνίων ;

#2

Για το πρώτο ερώτημα:

Βάζουμε συντεταγμένες στο σχήμα θεωρώντας την αρχή των αξόνων στην κάτω αριστερή γωνία του αριστερού τετραγώνου και χωρίς βλάβη της γενικότητας μοναδιαία τα τετράγωνα . Τότε δύο παράλληλα διανύσματα στις "υπερδιαγώνιες" είναι τα (n-1,1)

και

των οποίων το συνημίτονο της γωνίας είναι ίσο με

$\dfrac{n(n-1)-1}{\sqrt{(n-1)^2+1}\sqrt{n^2+1}}=\dfrac{n^2-n-1}{\sqrt{n^2-2n+2}\sqrt{n^2+1}}$

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση $\cos{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα και ότι $\cos{15^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ πρέπει να βρούμε τον ελάχιστο φυσικό ώστε $\dfrac{n^2-n-1}{\sqrt{n^2-2n+2}\sqrt{n^2+1}}>\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .

Με χρήση υπολογιστή αυτό φαίνεται ότι γίνεται πρώτη φορά για n=9

.

Αλέξανδρος

#3

Για το δεύτερο ερώτημα.

Προφανώς είναι $n\geq 2$ διαφορετικά δεν έχει νόημα το ερώτημα

Οι προηγούμενες ευθείες τέμνονται στο σημείο με τετμημένη $x_S=\dfrac{n(n-1)}{2n-1}$ .

Ψάχνουμε να βρούμε τον ακέραιο

για τον οποίο k-1 < x_S < k

. Τότε το

βρίσκεται στο

-οστό τετράγωνο. Αυτός ο ακέραιος δεν είναι άλλος από τον $k=\left[\dfrac{n(n-1)}{2n-1}\right]+1$ .

Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα του Θανάση είναι n=7

και $k=\left[\dfrac{42}{13}\right]+1=4$ , άρα το

βρίσκεται στο 4^o

τετράγωνο.

Αλέξανδρος

kochris · #4

Για το (α) ερώτημα μια προσέγγιση πέρα απο τις συντεταγμένες. Δουλεύοντας στο τρίγωνο ΑSΒ με Α το σημείο τομής της μεγάλης υπερδιαγωνίου με τη κορυφή του πρασινου (1ου) τετραγώνου και Β το σημείο τομής της μικρής υπερδιαγωνίου με τη κορυφή του κεραμιδί (προτελευταίου) τετραγώνου, θέλω να ισχύει tan(A+B)<tan(15)

δηλαδή ότι

$\dfrac{\dfrac{a}{an}+\dfrac{a}{(n-1)a}}{1-\dfrac{a}{an}\dfrac{a}{(n-1)a}} < 2 - \sqrt{3}$ . Όπου

το μήκος της πλευράς του τετραγώνου. Αυτή η ανίσωση ικανοποιείται για όλους τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του

.

Πολυτετράγωνη εξίσωση

Πολυτετράγωνη εξίσωση

Re: Πολυτετράγωνη εξίσωση

Re: Πολυτετράγωνη εξίσωση

Re: Πολυτετράγωνη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση