Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

KARKAR · #301

Άσκηση 108

: Άσκηση 108.png (7.12 KiB) Προβλήθηκε 4247 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

δημιουργείται ως εξής : Η πλευρά AD=b

είναι σταθερή και

έχει μέσο το σημείο

, ενώ οι άλλες κορυφές είναι σημεία δύο κάθετων προς την

ημιευθειών Ax , Dy

. Σημείο

κινείται επί της

και η κάθετη του

στο

,

τέμνει την

στο

, που είναι η τρίτη κορυφή του ορθογωνίου , ενώ η κορυφή

είναι η προβολή του

επί της

.

Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του AB=a

. Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του (MSC)

.

ealexiou · #302

KARKAR έγραψε:Άσκηση 108
Το συνημμένο Άσκηση 108.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο δημιουργείται ως εξής : Η πλευρά είναι σταθερή και

έχει μέσο το σημείο , ενώ οι άλλες κορυφές είναι σημεία δύο κάθετων προς την

ημιευθειών . Σημείο κινείται επί της και η κάθετη του στο ,

τέμνει την στο , που είναι η τρίτη κορυφή του ορθογωνίου , ενώ η κορυφή

είναι η προβολή του επί της .

Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του . Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 108.png (32.21 KiB) Προβλήθηκε 4232 φορές

Α) Το

γίνεται ελάχιστο όταν ο κύκλος διαμέτρου

γίνει εφαπτόμενος της

, οπότε $AS^2=AM\cdot AD=\dfrac{b^2}{2} \Rightarrow$ $AS=b\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AB_{min}=2\cdot AS=b\sqrt{2}$

#303

Α) Από τα όμοια τρίγωνα MAS, SBC

έχουμε $\frac {MA}{AS}=\frac {SB}{BC}$ άρα

$AB = AS +SB \ge 2 \sqrt {AS \cdot SB} = 2 \sqrt {MA \cdot BC}=2 \sqrt { \frac {b}{2} \cdot b} = b\sqrt 2$ με ισότητα όταν $AS = SB=\frac {1}{2}b \sqrt 2$ .

B) Με κάτι ανάλογο βγάζω ελάχιστο εμβαδόν ίσον $\frac {1}{2} b^2$ για $AS= b/2, \, SB = b$ και όχι

ealexiou έγραψε:
Β) $(MSC)_{min}=(1-\dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{8})(ABCD)_{min}=\dfrac{3b^2\sqrt{2}}{8}$

αλλά μπορεί να κάνω λάθος γιατί είμαι κουρασμένος και έχω ακόμη πολύ δουλειά για σήμερα.

#304

KARKAR έγραψε:Άσκηση 108
Το συνημμένο Άσκηση 108.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο δημιουργείται ως εξής : Η πλευρά είναι σταθερή και

έχει μέσο το σημείο , ενώ οι άλλες κορυφές είναι σημεία δύο κάθετων προς την

ημιευθειών . Σημείο κινείται επί της και η κάθετη του στο ,

τέμνει την στο , που είναι η τρίτη κορυφή του ορθογωνίου , ενώ η κορυφή

είναι η προβολή του επί της .

Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του . Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του .

Καλημέρα σε όλους .

Συμφωνώ με τον Κ. Λάμπρου.

: Ορθογώνια (KARKAR) _108.png (9.49 KiB) Προβλήθηκε 4200 φορές

Ας είναι $SA = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = y$ .

1. Από τα όμοια τρίγωνα $ASM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCS$ έχουμε : $\dfrac{{AS}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{BS}} \Rightarrow \boxed{xy = \dfrac{{{b^2}}}{2}}\,\,\,(1)$

Επειδή ως γνωστό αν δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν σταθερό γινόμενο , το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν αυτά γίνουν ίσα θα έχουμε:

$x = y = \dfrac{b}{{\sqrt 2 }}$ άρα $\boxed{{a_{\min }} = b\sqrt 2 }$ .

2. Το εμβαδόν $(SMC) = \dfrac{1}{2}SM \cdot SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4}} \sqrt {{y^2} + {b^2}}$ κι επειδή από την (1)

${y^2} = \dfrac{{{b^4}}}{{4{x^2}}}$ θα προκύψει :

$\boxed{(SMC) = f(x) = \dfrac{{b(4{x^2} + {b^2})}}{{8x}}}$ που παρουσιάζει ελάχιστο για $x = \dfrac{b}{2}$

το $\boxed{f(\dfrac{b}{2}) = \dfrac{{{b^2}}}{2} = {{(SMC)}_{\min }}}$ .

Ν.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #305

KARKAR έγραψε:Άσκηση 108
Το συνημμένο Άσκηση 108.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο δημιουργείται ως εξής : Η πλευρά είναι σταθερή και

έχει μέσο το σημείο , ενώ οι άλλες κορυφές είναι σημεία δύο κάθετων προς την

ημιευθειών . Σημείο κινείται επί της και η κάθετη του στο ,

τέμνει την στο , που είναι η τρίτη κορυφή του ορθογωνίου , ενώ η κορυφή

είναι η προβολή του επί της .

Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του . Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή του .

Ας είναι $\displaystyle{AS = x,AB = a}$ και $\displaystyle{SM \cap CD = P}$ .Τότε, $\displaystyle{PM = MS = \sqrt {{x^2} + \frac{{{b^2}}}{4}} }$ και $\displaystyle{PD = x}$

Ισχύει $\displaystyle{PD \cdot PC = PM \cdot PS = 2M{S^2} \Rightarrow x\left( {x + a} \right) = 2{x^2} + \frac{{{b^2}}}{2} \Rightarrow a = x + \frac{{{b^2}}}{{2x}}}$ με $\displaystyle{x > 0}$ και $\displaystyle{\alpha '(x) = 1 - \frac{{{b^2}}}{{2x}}}$

Εύκολα παίρνουμε ότι για $\displaystyle{x = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}}$ είναι $\displaystyle{\boxed{{a_{\min }} = b\sqrt 2 }}$

$\displaystyle{2\left( {CMS} \right) = 2\left( {CPM} \right) = \frac{b}{2}\left( {x + a} \right) = \frac{b}{2}\left( {2x + \frac{{{b^2}}}{{2x}}} \right)}$ και αν $\displaystyle{f(x) = 2x + \frac{{{b^2}}}{{2x}}}$ η f παίρνει την ελάχιστη τιμή της για $\displaystyle{x = \frac{b}{2}}$ και $\displaystyle{\boxed{{{\left( {CMS} \right)}_{\min }} = \frac{{{b^2}}}{2}}}$

: a108.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 4144 φορές

#306

Άσκηση 109

: Ορθογώνια.109.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 4142 φορές

Το

είναι ορθογώνιο,

είναι ένα σημείο του επιπέδου και E, H, Z, F

οι προβολές του

στις AB, DC, BC, AD

αντίστοιχα. Αν οι HZ, EF

τέμνονται στο

και οι

στο

,

να δείξετε ότι η

διχοτομεί τη γωνία $\hat{MPN}$ .

KARKAR · #307

Άσκηση 110

: Άσκηση 109.png (17.19 KiB) Προβλήθηκε 4108 φορές

Η πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

είναι ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα δύο εξωτερικά εφαπτόμενων άνισων κύκλων , ακτίνων $\rho$ και

, ενώ

η πλευρά

διέρχεται από το σημείο επαφής

. Υπολογίστε το (ABCD)

.

#308

KARKAR έγραψε:Άσκηση 110
Το συνημμένο Άσκηση 109.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά του ορθογωνίου είναι ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα δύο εξωτερικά εφαπτόμενων άνισων κύκλων , ακτίνων $\rho$ και , ενώ

η πλευρά διέρχεται από το σημείο επαφής . Υπολογίστε το .

: Ορθογώνια.110.png (18.97 KiB) Προβλήθηκε 4099 φορές

Έστω $\displaystyle{(K,\rho ),(L,R)}$ οι δύο κύκλοι. Είναι γνωστό ότι $AB=CD=2\sqrt{\rho R}$ και από τα όμοια τρίγωνα SKA, SLB

βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{{AK}}{{BL}} = \frac{\rho }{R} \Leftrightarrow \frac{{AK}}{{AK + BL}} = \frac{\rho }{{R + \rho }}}$

Αλλά, $\displaystyle{\rho + KA = R - BL \Leftrightarrow KA + BL = R - \rho }$ . Από τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουμε:

$\displaystyle{AD = \frac{{2R\rho }}{{R + \rho }}}$ . Άρα: $\boxed{(ABCD) = \frac{{4R\rho \sqrt {R\rho } }}{{R + \rho }}}$

KARKAR · #309

Άσκηση 111

: Άσκηση 111.png (8 KiB) Προβλήθηκε 4086 φορές

Ορθογώνιο

σχεδιάζεται στη γωνιά του πρώτου τεταρτημορίου . Βρείτε την εξίσωση

της παραβολής με κορυφή το

, η οποία διέρχεται από το

. Σταθεροποιούμε το

και μεταβάλουμε το

. Από το μέσο της διαγωνίου

, φέρουμε την κατακόρυφη ,

η οποία τέμνει την καμπύλη στο

. Δείξτε ότι το τμήμα

παραμένει σταθερό .

* Δείξτε επίσης ότι η καμπύλη διαιρεί το ορθογώνιο σε δύο περιοχές με λόγο εμβαδών 2:1

#310

KARKAR έγραψε:Άσκηση 111
Άσκηση 111.png
Ορθογώνιο σχεδιάζεται στη γωνιά του πρώτου τεταρτημορίου . Βρείτε την εξίσωση

της παραβολής με κορυφή το , η οποία διέρχεται από το . Σταθεροποιούμε το

και μεταβάλουμε το . Από το μέσο της διαγωνίου , φέρουμε την κατακόρυφη ,

η οποία τέμνει την καμπύλη στο . Δείξτε ότι το τμήμα παραμένει σταθερό .

* Δείξτε επίσης ότι η καμπύλη διαιρεί το ορθογώνιο σε δύο περιοχές με λόγο εμβαδών

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #311

george visvikis έγραψε:Άσκηση 109

Το συνημμένο Ορθογώνια.109.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι ορθογώνιο, είναι ένα σημείο του επιπέδου και οι προβολές του

στις αντίστοιχα. Αν οι τέμνονται στο και οι στο ,

να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $\hat{MPN}$ .

$\displaystyle{PF//AB,PZ//AB \Rightarrow P,F,Z}$ συνευθειακά και $\displaystyle{HP//BC,HE//BC \Rightarrow P,H,E}$ συνευθειακά και με CEVA στο $\displaystyle{\vartriangle ZEF \Rightarrow \frac{{FM}}{{ME}} \cdot \frac{{NE}}{{NZ}} \cdot \frac{{PZ}}{{PF}} = 1}$

Αλλά $\displaystyle{EZ//AB \Rightarrow \frac{{FM}}{{ME}} = \frac{{FP}}{{QE}},\frac{{NE}}{{NZ}} = \frac{{EL}}{{PZ}}}$ οπότε $\displaystyle{\frac{{FP}}{{QE}} \cdot \frac{{EL}}{{PZ}} \cdot \frac{{PZ}}{{PF}} = 1 \Rightarrow \boxed{EL = QE}}$

Έτσι στο $\displaystyle{\vartriangle PQL}$ το ύψος $\displaystyle{PE}$ είναι και διάμεσος άρα και διχοτόμος

: A109.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 4067 φορές

KARKAR · #312

Άσκηση 112

: Άσκηση 112.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 4028 φορές

Εντοπίστε σημείο

της ευθείας

στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος ,

ώστε οι γωνίες $\widehat{ASB} , \widehat{CSD}$ να είναι παραπληρωματικές .

#313

Άσκηση 112

: 09-01-2016 Γεωμετρία.jpg (19.31 KiB) Προβλήθηκε 4005 φορές

Μετακινώ παράλληλα τη τεθλασμένη γραμμή BSC

, ώστε τα

να ταυτιστούν με τα A, D

.
Αρκεί το ASDN

να είναι εγγράψιμμο. Τότε θα ισχύει $3 \cdot 2 = x\left( {7 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\; \vee x = 6$ , δηλαδή SQ = 1

ή

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #314

KARKAR έγραψε:Άσκηση 112
Το συνημμένο Άσκηση 112.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εντοπίστε σημείο της ευθείας στο ορθογώνιο του σχήματος ,

ώστε οι γωνίες $\widehat{ASB} , \widehat{CSD}$ να είναι παραπληρωματικές .

$\displaystyle{\angle ASB + \angle DSC = {180^0} \Rightarrow \angle DSA + \angle CSB = {180^0}}$ .Άρα $\displaystyle{\frac{{\left( {DSC} \right)}}{{\left( {SAB} \right)}} = \frac{{\kappa \nu }}{{\lambda \mu }} = \frac{3}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{{\left( {DSA} \right)}}{{\left( {CSB} \right)}} = \frac{{\kappa \lambda }}{{\mu \nu }} = \frac{{7 - x}}{x}}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{{\left( {\frac{\kappa }{\mu }} \right)^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{7 - x}}{x}}$

Αλλά $\displaystyle{\vartriangle DPS \simeq \vartriangle SQB \Rightarrow \frac{\kappa }{\mu } = \frac{3}{x}}$ οπότε $\displaystyle{\frac{9}{{{x^2}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{7 - x}}{x} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0}$ με λύσεις $\displaystyle{x = 1}$ , $\displaystyle{x = 6}$

: a112.png (7.99 KiB) Προβλήθηκε 3976 φορές

sakis1963 · #315

george visvikis έγραψε:Άσκηση 109

Ορθογώνια.109.png
Το είναι ορθογώνιο, είναι ένα σημείο του επιπέδου και οι προβολές του

στις αντίστοιχα. Αν οι τέμνονται στο και οι στο ,

να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $\hat{MPN}$ .

Θα μου επιτρέψει ο Γιώργος ένα ακόμη ερώτημα στην ωραία Ασκηση.109

Να δειχθεί οτι DM, CN

διέρχονται από σταθερό σημείο

Γιώργος Μήτσιος · #316

Καλημέρα σε όλους.
Για την , έστω και συμβολική , συμμετοχή μου σ΄αυτή την ωραία συλλογή ασκήσεων :
ΑΣΚΗΣΗ 113

: Ορθογώνια 1-9.PNG (4.3 KiB) Προβλήθηκε 3952 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος , το

είναι σημείο της πλευράς

για το οποίο ισχύει :

$\dfrac{AC-AD}{DE}=\dfrac{AB}{BC}= \lambda$

Να υπολογιστεί ο λόγος $\mu =\dfrac{\left(ABCD \right)}{(ADE)}$ ως συνάρτηση του $\lambda$

Ειδικά -για επαλήθευση του γενικού τύπου- αν είναι $\hat{DAC}=60^{0}$ , βρείτε το $\mu$ και..

έχετε ούτως ή άλλως .. $56\mu ^{2}$ ..ευχές για ότι καλύτερο κατά το νέο έτος !

Φιλικά Γιώργος .

KARKAR · #317

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους.
Για την , έστω και συμβολική , συμμετοχή μου σ΄αυτή την ωραία συλλογή ασκήσεων :
ΑΣΚΗΣΗ 113
Στο ορθογώνιο του σχήματος , το είναι σημείο της πλευράς για το οποίο ισχύει :

$\dfrac{AC-AD}{DE}=\dfrac{AB}{BC}= \lambda$

Να υπολογιστεί ο λόγος $\mu =\dfrac{\left(ABCD \right)}{(ADE)}$ ως συνάρτηση του $\lambda$

Ειδικά -για επαλήθευση του γενικού τύπου- αν είναι $\hat{DAC}=60^{0}$ , βρείτε το $\mu$ και..

έχετε ούτως ή άλλως .. $56\mu ^{2}$ ..ευχές για ότι καλύτερο κατά το νέο έτος !

Φιλικά Γιώργος .

Με απλές πράξεις βρίσκουμε $BE=\dfrac{b(\sqrt{a^2+b^2}-b)}{a}$ και $\mu=2(\sqrt{\lambda^2+1}+1)$ .
Για $\lambda=\sqrt{3}$ , βρίσκουμε $\mu=6$ ,οπότε οι ευχές φθάνουν στις $56\cdot 36=2016$ . Γιώργο ευχαριστούμε !

KARKAR · #318

Άσκηση 114

: Άσκηση 113.png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 3919 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

με

, το

είναι το μέσο της

και γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου

, ώστε οι τομές του S,T

με την

να την τριχοτομούν . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ . Σχολική .

maiksoul · #319

KARKAR έγραψε:Άσκηση 114
Άσκηση 113.png
Στο ορθογώνιο με , το είναι το μέσο της

και γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , ώστε οι τομές του με την

να την τριχοτομούν . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ . Σχολική .

Καλημέρα !

Έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου , ρ η ακτίνα του και Κ το (κοινό) μέσο των ΑΒ και ST έχουμε τότε:

$\displaystyle{ \,\,\rho = OS = \frac{1}{2}{\rm M}D\mathop = \limits^{\Pi .\Theta .} \,\,\frac{{\sqrt {4a^{2\,} + b^2 } }}{4}\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,OK\mathop = \limits^{\scriptstyle \Delta {\rm I}{\rm A}{\rm M}{\rm E}\Sigma {\rm O}\Sigma \hfill \atop \scriptstyle \,\,\,\,\,\,\,{\rm A}BMD \hfill} \frac{{3b}}{4}\,\, }$

Με εφαρμογή του $\displaystyle{ \Pi .\Theta .\,\,\,\mathop {OKS}\limits^\Delta \,\,\,:\,\,OK^{\,2\,} + SK^{\,2\,} \, = OS^{\,2\,} }$

έχουμε

$\displaystyle{ \frac{{9b^2 }}{{16}} + \frac{{a^{2\,} }}{{36}} = \frac{{4a^{2\,} + b^2 }}{{16}}\, \Leftrightarrow \frac{{a^{2\,} }}{{36}} = \frac{{4a^{2\,} - 8b^2 }}{{16}} \Leftrightarrow 32a^{2\,} = 72b^2 \Leftrightarrow \,\,\frac{b}{a} = \frac{2}{3}\, }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #320

KARKAR έγραψε:Άσκηση 114
Το συνημμένο Άσκηση 113.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο με , το είναι το μέσο της

και γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , ώστε οι τομές του με την

να την τριχοτομούν . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ . Σχολική .

Καλημέρα...

$\displaystyle{\vartriangle DAT \simeq \vartriangle TBM \Rightarrow \frac{{DA}}{{TB}} = \frac{{AT}}{{MB}} \Rightarrow \frac{b}{{\dfrac{\alpha }{3}}} = \frac{{\dfrac{{2\alpha }}{3}}}{{\dfrac{b}{2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{b}{a} = \frac{2}{3}}}$

: a114.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 3897 φορές

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση