Και όμως ίσοι

#1

Τρεις πραγματικοί αριθμοί $a,\,b,\,c$ ικανοποιούν την ταυτότητα

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2= (a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2

.

Δείξτε ότι ισχύει a=b=c

.

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές. Ως άσκηση, είναι προσιτή, αλλά αυτό που ζητάω είναι να μην κάνει κανείς όλες τις πράξεις, μετά ένα κάρο απλοποιήσεις, και ότι βγει. Ζητάω σχετικά απλή και κομψή λύση, χωρίς να χαθούμε σε πολλές πράξεις.)

Nikitas K. · #2

Λήμμα:
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y

και

ισχύει ότι -4z^2 - 4xy + 4yz + 4zx = (x-y)^2 - (x+y-2z)^2

Απόδειξη:
$\displaystyle \begin{aligned} (x-y)^2 - (x+y-2z)^2 &= \left[x-y - (x+y-2z)\right](x-y + x+y-2z) && \text{\grως διαφορά τετραγώνων} \\ &= (-2y+2z)(2x-2z) \\ &= -4z^2 - 4xy + 4yz + 4zx \end{aligned} \blacksquare$

Πόρισμα του λήμματος:

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παρακάτω ισότητες:

$\displaystyle \begin{aligned} -4c^2 - \cancel{4ab} + \cancel{4bc} + \cancel{4ca} &= (a-b)^2 - (a+b-2c)^2\\ -4a^2 - \cancel{4bc} + 4ca + \cancel{4ab} &= (b-c)^2 - (b+c-2a)^2\\ -4b^2 - \cancel{4ca} + 4ab + 4bc &= (c-a)^2 - (c+a-2b)^2\\ \end{aligned}$

Λαμβάνουμε ότι:

$\displaystyle -4a^2 - 4b^2 - 4c^2 + 4ab + 4bc + 4ca = 0 \quad \text{\grτο δεύτερο μέλος μηδενίστηκε λόγω της δοθείσας σχέσης.}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(a-b = 0 \quad \text{\grκαι}\quad b-c = 0 \quad\text{\grκαι}\quad c-a = 0\right)\Leftrightarrow a=b=c$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 18, 2025 2:55 pm
Τρεις πραγματικοί αριθμοί $a,\,b,\,c$ ικανοποιούν την ταυτότητα

.

Δείξτε ότι ισχύει .

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές. Ως άσκηση, είναι προσιτή, αλλά αυτό που ζητάω είναι να μην κάνει κανείς όλες τις πράξεις, μετά ένα κάρο απλοποιήσεις, και ότι βγει. Ζητάω σχετικά απλή και κομψή λύση, χωρίς να χαθούμε σε πολλές πράξεις.)

Σωστά, αλλά ουσιαστικά έγιναν όλες πράξεις, που είπαμε να αποφύγουμε. Πιο απλά, θέτουμε $a-b=A, \, b-c=B,\, c-a=C$ .

Τότε B-C= a+b-2c

και κυκλικά. Οπότε η δοθείσα γίνεται

A^2+B^2+C^2=(B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2

(*), ισοδύναμα μετά τα αναπτύγματα

0=A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA= (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2

.

Βάζοντας αυτό στο δεξί μέλος της (*), δίνει

A^2+B^2+C^2=0

, από όπου A=B=C=0

, που είναι το ζητούμενο.

Nikitas K. · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 8:51 am
$\color{red}A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA= (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2$

Πως αποδείξατε ότι το $\displaystyle (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2 ~ \text{\grδεν είναι μεγαλύτερο του} ~ A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA;$

Με αφαίρεση κατά μέλη:

$\displaystyle \begin{aligned} (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2 &= 2A^2+2B^2 +2C^2 - 2AB-2BC- 2CA\\ A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA &= A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA \end{aligned}$

Προκύπτει:

$\displaystyle (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2 - \left(A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA\right) = A^2+B^2+C^2\geq 0$

$\displaystyle \Rightarrow (B-C)^2+(C-A)^2+(A-B)^2 \geq A^2+B^2+C^2 - 2AB-2BC-2CA$

Nikitas K. · #5

Αναθέτοντας $\displaystyle x= a-b,\, y=b-c,\, z=c-a ~ \text{\grκαι}~ s= x^2+y^2+z^2$

Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle s = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \quad \color{blue} *$

Πράγματι,
$\displaystyle {s = \cancelto{0}{(x+y+z)^2} - 2(xy+yz+zx) = (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 - 2s \overset{{\color{blue} *}}= -s \quad\text{\gr· το ζητούμενο έπεται.}}$

Και όμως ίσοι

Και όμως ίσοι

Re: Και όμως ίσοι

Re: Και όμως ίσοι

Re: Και όμως ίσοι

Re: Και όμως ίσοι

Μέλη σε σύνδεση