Τιμή παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Μου την έφερε σήμερα μαθήτρια. Είναι άσκηση από το σχολείο στο σπίτι. Προσωπικά αυτές τις ασκήσεις τις βρίσκω διασκεδαστικές. Της μαθήτριας της φάνηκε βουνό...

Αν $\alpha +2 \beta = 1$ και $2\alpha + 3 \beta + \gamma =2018$ τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = 6 \alpha + 11 \beta + \gamma}$

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα συνάδελφε!! Ομολογώ ότι είναι αρκετά δύσκολη για τα σχολικά δεδομένα. (τουλάχιστον έτσι το βλέπω).
Εδώ το τέχνασμα είναι να γράψουμε την παράσταση ως $\displaystyle A=4(a+2b)+(2a+3b+c)$ .

Άρα η αριθμητική τιμή της είναι $\displaystyle A=4 \cdot 1+2018=2022$ .
Δεν θα το έλεγα τυχαίο το αποτέλεσμα.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Τόλη καλησπέρα.

Ρώτα τη μαθήτρια μήπως ο καθηγητής είχε διδάξει κάτι παρόμοιο στο μάθημα. Πολλές φορές τα παιδιά θέλουν να λυθούν οι ασκήσεις για το επόμενο μάθημα χωρίς να βλέπουν τις σημειώσεις από την παράδοση.

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 9:57 pm

Ρώτα τη μαθήτρια μήπως ο καθηγητής είχε διδάξει κάτι παρόμοιο στο μάθημα. Πολλές φορές τα παιδιά θέλουν να λυθούν οι ασκήσεις για το επόμενο μάθημα χωρίς να βλέπουν τις σημειώσεις από την παράδοση.

Αυτό πιστεύω ότι είναι το πιθανότερο σενάριο.

Πάντως η άσκηση έχει και άλλη λύση που νομίζω ότι θα μπορούσε να την σκεφτεί ένας μαθητής, έστω με μικρή βοήθεια. Συγκεκριμένα:

Οι εξισώσεις γράφονται ως σύστημα ως προς a,b

, εδώ

$a+2b=1,\, 2a+3b=2018-c$ .

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε $a= 4033-2c,\, b=c-2016$ . Άρα με αντικατάσταση των $a,\,b$ στην δοθείσα έχουμε

6a+11b+c=6(4033-2c)+11(c-2016)+c =

(φεύγουν τα

και μένει) 2022

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 5:49 pm
Μου την έφερε σήμερα μαθήτρια. Είναι άσκηση από το σχολείο στο σπίτι. Προσωπικά αυτές τις ασκήσεις τις βρίσκω διασκεδαστικές. Της μαθήτριας της φάνηκε βουνό...

Αν $\alpha +2 \beta = 1$ και $2\alpha + 3 \beta + \gamma =2018$ τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = 6 \alpha + 11 \beta + \gamma}$

$2a+3b+c=2017+a+2b \Rightarrow a+b+c=2017$

A=5(a+2b)+a+b+c=5.1+2017=2022

Tolaso J Kos · #6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 9:57 pm
Τόλη καλησπέρα.

Ρώτα τη μαθήτρια μήπως ο καθηγητής είχε διδάξει κάτι παρόμοιο στο μάθημα. Πολλές φορές τα παιδιά θέλουν να λυθούν οι ασκήσεις για το επόμενο μάθημα χωρίς να βλέπουν τις σημειώσεις από την παράδοση.

Γεια σου Τηλέμαχε,

ναι, έχουν κάνει παρόμοια αλλά πολύ πιο εύκολη πριν μία εβδομάδα περίπου αλλά το παιδί δεν έχει καταλάβει τι συμβαίνει με αυτές τις ασκήσεις. Δηλαδή, δεν έχει μπει στο τρόπο φιλοσοφίας του να σπάσω κατάλληλα τους αριθμούς. Η λύση που έδωσα ήταν η εξής:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= 6 \alpha + 11 \beta + \gamma \\ &= \left ( \alpha + 2 \beta \right ) + 5 \alpha + 9 \beta + \gamma \\ &= 1 + \left ( 3 \alpha + 6 \beta \right ) + \left ( 2 \alpha + 3 \beta + \gamma \right ) \\ &= 1 + 3 \cdot \left ( \alpha +2 \beta \right ) + \left ( 2 \alpha + 3 \beta + \gamma \right ) \\ &= 1 + 3 \cdot 1 + 2018 \\ &= 1 + 3 +2018 \\ &= 2022 \end{aligned}}$

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 29, 2022 8:26 am
... το παιδί δεν έχει καταλάβει τι συμβαίνει με αυτές τις ασκήσεις. Δηλαδή, δεν έχει μπει στο τρόπο φιλοσοφίας του να σπάσω κατάλληλα τους αριθμούς.

Κατά βάθος το παιδί έχει δίκιο γιατί οι προτεινόμενες αντιμετωπίσεις έχουν (στο δικό του μυαλό) το στοιχείο της αυθαιρεσίας. Με αυτό εννοώ ότι οι παραπάνω λύσεις ομαδοποιούν κατάλληλα διάφορες παραστάσεις των $a,\, b$ ενώ ο ίδιος ο μαθητής δεν αντιλαμβάνεται την αιτία των εκάστοτε ομαδοποιήσεων. Τις βλέπει ad hoc. Ίσως ο ευκολότερος τρόπος να λυθεί η άσκηση (με την ομαδοποίηση να είναι ουσιαστικά αυτόματη) είναι να λύσουμε την δεύτερη εξίσωση ως προς

, και να αντικαταστήσουμε στην ζητούμενη. Συγκεκριμένα, έχουμε

c=2018-2a-3b

οπότε η παράσταση ισούται

6a+11b+c=6a+11b+(2018 - 2a-3b) = 2018 +4a+8b=

(από την πρώτη δοθείσα) $=2018+4(a+2b) = 2018 +4\cdot 1 = 2022$

Νομίζω ότι αυτή η λύση δεν αγχώνει τον πρωτόπειρο.

Henri van Aubel · #8

Συμφωνώ στο 100% με όλους τους συναδέλφους.
Η φιλοσοφία για να το εξηγούσα σε παιδί θα ήταν κάπως σαν του Τόλη. Αλλά συμφωνώ με τον κύριο Λάμπρου, η επίλυση με σύστημα είναι πολύ πιο τετριμμένη και εύκολη για το μυαλό της μαθήτριας.

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση